Vecteur normal, équation cartésienne et projeté orthogonal

Utiliser un vecteur normal pour écrire l’équation cartésienne d’une droite, et calculer le projeté orthogonal d’un point.

L’essentiel

Un vecteur normal à une droite $d$ est un vecteur non nul orthogonal à ses vecteurs directeurs.

Dans un repère orthonormé, la droite d’équation $ax + by + c = 0$ admet $\vec{n}\,(a \,;\, b)$ pour vecteur normal et $\vec{u}\,(-b \,;\, a)$ pour vecteur directeur.

Le projeté orthogonal $H$ d’un point $M$ sur la droite $d$ est le point de $d$ tel que $(MH) \perp d$. C’est le point de $d$ le plus proche de $M$.

La méthode

Équation de la droite passant par $A$ de vecteur normal $\vec{n}\,(a \,;\, b)$ :

1. Écris $ax + by + c = 0$ avec les coordonnées de $\vec{n}$.
2. Trouve $c$ en écrivant que $A$ est sur la droite.

Projeté orthogonal de $M$ sur $d$ :

1. Écris les coordonnées d’un point $H$ de $d$ en fonction d’un paramètre (ou avec l’équation de $d$).
2. Écris $\overrightarrow{MH} \cdot \vec{u} = 0$, avec $\vec{u}$ un vecteur directeur de $d$.
3. Résous, puis donne les coordonnées de $H$.

Exemple corrigé

Les pièges