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FicheNiveau : 1RE SPÉ

Produit scalaire : quatre façons de le calculer

Calculer un produit scalaire avec les coordonnées, les normes et l’angle, ou la projection, et s’en servir pour l’orthogonalité.

L’essentiel

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre. Quatre formules, à choisir selon les données :

  • Normes et angle : u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡(u⃗,v⃗)\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v}).
  • Coordonnées (repère orthonormé) : avec u⃗ (x ; y)\vec{u}\,(x \,;\, y) et v⃗ (x′ ; y′)\vec{v}\,(x' \,;\, y'), u⃗⋅v⃗=xx′+yy′\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'.
  • Projection : si HH est le projeté orthogonal de CC sur (AB)(AB), AB→⋅AC→=AB→⋅AH→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}.
  • Normes seules : u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2)\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right).

Orthogonalité : u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0.

Al-Kashi : dans un triangle ABCABC, BC2=AB2+AC2−2 AB×AC×cos⁡A^BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,AB \times AC \times \cos \widehat{A}.

La méthode

  1. Des coordonnées ? Utilise xx′+yy′xx' + yy'.
  2. Des longueurs et un angle ? Utilise la formule avec le cosinus.
  3. Un angle droit dans la figure ? Pense à la projection.
  4. Pour montrer que deux droites sont perpendiculaires, montre que le produit scalaire de deux vecteurs directeurs est nul.

Exemple corrigé

u⃗ (3 ; −2)\vec{u}\,(3 \,;\, -2) et v⃗ (4 ; m)\vec{v}\,(4 \,;\, m). Pour quelle valeur de mm sont-ils orthogonaux ?

u⃗⋅v⃗=3×4+(−2)×m=12−2m\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 4 + (-2) \times m = 12 - 2m 12−2m=0  ⟺  m=612 - 2m = 0 \iff \boxed{m = 6}

Produit scalaire avec les coordonnéesS’entraîner

Avec ∥u⃗∥=4\|\vec{u}\| = 4, ∥v⃗∥=5\|\vec{v}\| = 5 et un angle de 2π3\dfrac{2\pi}{3} : u⃗⋅v⃗=4×5×(−12)=−10\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \times 5 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = \boxed{-10}.

Produit scalaire avec les normes et l’angleS’entraîner

Les pièges

  • Le produit scalaire est un nombre, pas un vecteur.
  • Un produit scalaire négatif est possible : l’angle est alors obtus.
  • La formule xx′+yy′xx' + yy' n’est valable que dans un repère orthonormé.