2 types d’exercices, trois exemples corrigés pour chacun. Tout se fait sans calculatrice. Pour une série sans fin, avec ta maîtrise de la notion, passe par l’exerciseur.
Si n ⃗ ( a ; b ) \vec{n}\,(a\,;\,b) n ( a ; b ) a x + b y + c = 0 ax + by + c = 0 a x + b y + c = 0 c c c
1. La droite d passe par A et admet n pour vecteur normal. Son équation est ax + by + c = 0 : donne c.
A ( − 3 ; − 5 ) n ⃗ ( 3 ; − 5 ) A(-3 \,;\, -5) \qquad \vec{n}\,(3 \,;\, -5) A ( − 3 ; − 5 ) n ( 3 ; − 5 ) Corrigé n ⃗ ( 3 ; − 5 ) \vec{n}\,(3 \,;\, -5) n ( 3 ; − 5 ) d d d d d d 3 x − 5 y + c = 0 3x - 5y + c = 0 3 x − 5 y + c = 0 A ∈ d : 3 × ( − 3 ) + ( − 5 ) × ( − 5 ) + c = 0 donc c = − 16 A \in d : 3 \times (-3) + (-5) \times (-5) + c = 0 \quad\text{donc}\quad c = -16 A ∈ d : 3 × ( − 3 ) + ( − 5 ) × ( − 5 ) + c = 0 donc c = − 16 d : 3 x − 5 y − 16 = 0 d : 3x - 5y - 16 = 0 d : 3 x − 5 y − 16 = 0 Réponse c = − 16 -16 − 16
2. La droite d passe par A et admet n pour vecteur normal. Son équation est ax + by + c = 0 : donne c.
A ( − 2 ; 1 ) n ⃗ ( 2 ; − 3 ) A(-2 \,;\, 1) \qquad \vec{n}\,(2 \,;\, -3) A ( − 2 ; 1 ) n ( 2 ; − 3 ) Corrigé n ⃗ ( 2 ; − 3 ) \vec{n}\,(2 \,;\, -3) n ( 2 ; − 3 ) d d d d d d 2 x − 3 y + c = 0 2x - 3y + c = 0 2 x − 3 y + c = 0 A ∈ d : 2 × ( − 2 ) + ( − 3 ) × 1 + c = 0 donc c = 7 A \in d : 2 \times (-2) + (-3) \times 1 + c = 0 \quad\text{donc}\quad c = 7 A ∈ d : 2 × ( − 2 ) + ( − 3 ) × 1 + c = 0 donc c = 7 d : 2 x − 3 y + 7 = 0 d : 2x - 3y + 7 = 0 d : 2 x − 3 y + 7 = 0 Réponse c = 7 7 7
3. La droite d passe par A et admet n pour vecteur normal. Son équation est ax + by + c = 0 : donne c.
A ( − 2 ; − 1 ) n ⃗ ( 4 ; 2 ) A(-2 \,;\, -1) \qquad \vec{n}\,(4 \,;\, 2) A ( − 2 ; − 1 ) n ( 4 ; 2 ) Corrigé n ⃗ ( 4 ; 2 ) \vec{n}\,(4 \,;\, 2) n ( 4 ; 2 ) d d d d d d 4 x + 2 y + c = 0 4x + 2y + c = 0 4 x + 2 y + c = 0 A ∈ d : 4 × ( − 2 ) + 2 × ( − 1 ) + c = 0 donc c = 10 A \in d : 4 \times (-2) + 2 \times (-1) + c = 0 \quad\text{donc}\quad c = 10 A ∈ d : 4 × ( − 2 ) + 2 × ( − 1 ) + c = 0 donc c = 10 d : 4 x + 2 y + 10 = 0 d : 4x + 2y + 10 = 0 d : 4 x + 2 y + 10 = 0 Réponse c = 10 10 10
H est sur la droite et M H → \overrightarrow{MH} M H
4. H est le projeté orthogonal de M sur la droite d. Donne l’ordonnée de H.
M ( − 5 ; 0 ) d : − x − 2 y = 0 M(-5 \,;\, 0) \qquad d : -x - 2y = 0 M ( − 5 ; 0 ) d : − x − 2 y = 0 Corrigé d d d u ⃗ ( 2 ; − 1 ) \vec{u}\,(2 \,;\, -1) u ( 2 ; − 1 ) H ( 2 t ; − t ) H(2t \,;\, -t) H ( 2 t ; − t ) M H → ⋅ u ⃗ = 0 ⟺ t = x M × 2 + y M × ( − 1 ) 2 2 + ( − 1 ) 2 = − 10 5 = − 2 \overrightarrow{MH} \cdot \vec{u} = 0 \iff t = \dfrac{x_M \times 2 + y_M \times (-1)}{2^2 + (-1)^2} = \dfrac{-10}{5} = -2 M H ⋅ u = 0 ⟺ t = 2 2 + ( − 1 ) 2 x M × 2 + y M × ( − 1 ) = 5 − 10 = − 2 H ( − 4 ; 2 ) H(-4 \,;\, 2) H ( − 4 ; 2 ) Réponse y H = y_H = y H = 2 2 2
5. H est le projeté orthogonal de M sur la droite d. Donne l’ordonnée de H.
M ( − 4 ; 2 ) d : x − 3 y = 0 M(-4 \,;\, 2) \qquad d : x - 3y = 0 M ( − 4 ; 2 ) d : x − 3 y = 0 Corrigé d d d u ⃗ ( 3 ; 1 ) \vec{u}\,(3 \,;\, 1) u ( 3 ; 1 ) H ( 3 t ; t ) H(3t \,;\, t) H ( 3 t ; t ) M H → ⋅ u ⃗ = 0 ⟺ t = x M × 3 + y M × 1 3 2 + 1 2 = − 10 10 = − 1 \overrightarrow{MH} \cdot \vec{u} = 0 \iff t = \dfrac{x_M \times 3 + y_M \times 1}{3^2 + 1^2} = \dfrac{-10}{10} = -1 M H ⋅ u = 0 ⟺ t = 3 2 + 1 2 x M × 3 + y M × 1 = 10 − 10 = − 1 H ( − 3 ; − 1 ) H(-3 \,;\, -1) H ( − 3 ; − 1 ) Réponse y H = y_H = y H = − 1 -1 − 1
6. H est le projeté orthogonal de M sur la droite d. Donne l’ordonnée de H.
M ( 0 ; − 5 ) d : − 2 x − y = 0 M(0 \,;\, -5) \qquad d : -2x - y = 0 M ( 0 ; − 5 ) d : − 2 x − y = 0 Corrigé d d d u ⃗ ( 1 ; − 2 ) \vec{u}\,(1 \,;\, -2) u ( 1 ; − 2 ) H ( t ; − 2 t ) H(t \,;\, -2t) H ( t ; − 2 t ) M H → ⋅ u ⃗ = 0 ⟺ t = x M × 1 + y M × ( − 2 ) 1 2 + ( − 2 ) 2 = 10 5 = 2 \overrightarrow{MH} \cdot \vec{u} = 0 \iff t = \dfrac{x_M \times 1 + y_M \times (-2)}{1^2 + (-2)^2} = \dfrac{10}{5} = 2 M H ⋅ u = 0 ⟺ t = 1 2 + ( − 2 ) 2 x M × 1 + y M × ( − 2 ) = 5 10 = 2 H ( 2 ; − 4 ) H(2 \,;\, -4) H ( 2 ; − 4 ) Réponse y H = y_H = y H = − 4 -4 − 4