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FicheNiveau : 2NDE

Colinéarité et déterminant de deux vecteurs

Calculer le déterminant de deux vecteurs, décider s’ils sont colinéaires, trouver un paramètre m, puis montrer un alignement ou un parallélisme.

L’essentiel

Deux vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires si l’un est un multiple de l’autre : il existe un réel kk tel que v⃗=ku⃗\vec{v} = k\vec{u} (ou u⃗=0⃗\vec{u} = \vec{0}). S’ils sont non nuls, ils ont alors la même direction. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

Dans une base orthonormée, le déterminant de u⃗ (x ; y)\vec{u}\,(x \,;\, y) et v⃗ (x′ ; y′)\vec{v}\,(x' \,;\, y') est

det⁡(u⃗,v⃗)=∣xx′yy′∣=xy′−yx′\det(\vec{u}, \vec{v}) = \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} = xy' - yx'

u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont colinéaires si et seulement si det⁡(u⃗,v⃗)=0\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0.

Pour des vecteurs non nuls, cela revient à dire que leurs coordonnées sont proportionnelles.

La méthode

  • Tester la colinéarité : écrire les coordonnées en colonnes, multiplier « en croix » (xx par y′y', puis yy par x′x') et soustraire. Nul : colinéaires ; non nul : pas colinéaires.
  • Trouver un paramètre mm : écrire det⁡(u⃗,v⃗)=0\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0 et résoudre l’équation du premier degré obtenue.
  • Alignement : AA, BB et CC sont alignés si et seulement si AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires.
  • Parallélisme : les droites (AB)(AB) et (CD)(CD) sont parallèles si et seulement si AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont colinéaires.

Exemples corrigés

Avec u⃗ (4 ; −6)\vec{u}\,(4 \,;\, -6) et v⃗ (−6 ; 9)\vec{v}\,(-6 \,;\, 9) :

det⁡(u⃗,v⃗)=4×9−(−6)×(−6)=36−36=0\det(\vec{u}, \vec{v}) = 4 \times 9 - (-6) \times (-6) = 36 - 36 = \boxed{0}

Les vecteurs sont colinéaires : en effet, v⃗=−32 u⃗\vec{v} = -\dfrac{3}{2}\,\vec{u}.

Pour quelle valeur de mm les vecteurs u⃗ (6 ; m)\vec{u}\,(6 \,;\, m) et v⃗ (−2 ; 5)\vec{v}\,(-2 \,;\, 5) sont-ils colinéaires ?

6×5−m×(−2)=0  ⟺  30+2m=0  ⟺  m=−156 \times 5 - m \times (-2) = 0 \iff 30 + 2m = 0 \iff \boxed{m = -15}

Les points A(1 ; 2)A(1 \,;\, 2), B(3 ; 6)B(3 \,;\, 6) et C(−2 ; −4)C(-2 \,;\, -4) sont-ils alignés ? On a AB→ (2 ; 4)\overrightarrow{AB}\,(2 \,;\, 4) et AC→ (−3 ; −6)\overrightarrow{AC}\,(-3 \,;\, -6), puis

det⁡(AB→,AC→)=2×(−6)−4×(−3)=−12+12=0\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 2 \times (-6) - 4 \times (-3) = -12 + 12 = \boxed{0}

Le déterminant est nul : les points AA, BB et CC sont alignés.

Colinéarité et déterminantS’entraîner

Les pièges

  • Se tromper de produit : c’est x×y′x \times y' moins y×x′y \times x', les deux produits « en croix ».
  • Se tromper de signe avec les négatifs : pour u⃗ (2 ; −6)\vec{u}\,(2 \,;\, -6) et v⃗ (−6 ; 3)\vec{v}\,(-6 \,;\, 3), on soustrait (−6)×(−6)=36(-6) \times (-6) = 36, donc det⁡=2×3−36=−30\det = 2 \times 3 - 36 = -30. Mets des parenthèses autour de chaque nombre négatif.
  • Pour l’alignement, prendre deux vecteurs qui ont un point commun, comme AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}.
  • Colinéaires ne veut pas dire de même sens : u⃗\vec{u} et −2u⃗-2\vec{u} sont colinéaires.
  • Deux droites parallèles peuvent être confondues : vérifier si un point de l’une est sur l’autre quand la question le demande.