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Exercices corrigésNiveau : 2NDE

Colinéarité et déterminant : exercices corrigés

2 types d’exercices, trois exemples corrigés pour chacun. Tout se fait sans calculatrice. Pour une série sans fin, avec ta maîtrise de la notion, passe par l’exerciseur.

  • 6 exercices
  • corrigés pas à pas
  • sans calculatrice
  • seconde

Colinéarité et déterminant

S’entraîner sur ce type

det⁡(u⃗,v⃗)=xy′−x′y\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y. Les vecteurs sont colinéaires si et seulement si ce déterminant est nul.

1.

Calcule le déterminant des vecteurs u et v. Sont-ils colinéaires ?

u⃗ (6 ; 3)v⃗ (−4 ; 0)\vec{u}\,(6 \,;\, 3) \qquad \vec{v}\,(-4 \,;\, 0)
Corrigé
  1. det⁡(u⃗,v⃗)=xy′−yx′\det(\vec u, \vec v) = xy' - yx'
  2. det⁡(u⃗,v⃗)=6×0−3×(−4)=12\det(\vec u, \vec v) = 6 \times 0 - 3 \times (-4) = 12
  3. Le déterminant n’est pas nul : u⃗\vec u et v⃗\vec v ne sont pas colinéaires.

Réponsedet(u, v) = 1212

2.

Calcule le déterminant des vecteurs u et v. Sont-ils colinéaires ?

u⃗ (−1 ; 6)v⃗ (1 ; 3)\vec{u}\,(-1 \,;\, 6) \qquad \vec{v}\,(1 \,;\, 3)
Corrigé
  1. det⁡(u⃗,v⃗)=xy′−yx′\det(\vec u, \vec v) = xy' - yx'
  2. det⁡(u⃗,v⃗)=(−1)×3−6×1=−9\det(\vec u, \vec v) = (-1) \times 3 - 6 \times 1 = -9
  3. Le déterminant n’est pas nul : u⃗\vec u et v⃗\vec v ne sont pas colinéaires.

Réponsedet(u, v) = −9-9

3.

Pour quelle valeur de m les vecteurs u et v sont-ils colinéaires ?

u⃗ (−6 ; m)v⃗ (−2 ; −2)\vec{u}\,(-6 \,;\, m) \qquad \vec{v}\,(-2 \,;\, -2)
Corrigé
  1. u⃗\vec u et v⃗\vec v sont colinéaires si et seulement si det⁡(u⃗,v⃗)=0\det(\vec u, \vec v) = 0.
  2. (−6)×(−2)−m×(−2)=0  ⟺  −2m=12  ⟺  m=−6(-6) \times (-2) - m \times (-2) = 0 \iff -2m = 12 \iff m = -6

Réponsem = −6-6

Alignement et parallélisme par le déterminant

S’entraîner sur ce type

A, B, C sont alignés si AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires ; (AB) et (CD) sont parallèles si AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} le sont. Colinéaires : xy′−yx′=0xy' - yx' = 0.

4.

Pour quelle valeur de m les points A, B et C sont-ils alignés ?

A(−5 ; 0)B(−1 ; 1)C(−13 ; m)A(-5 \,;\, 0) \qquad B(-1 \,;\, 1) \qquad C(-13 \,;\, m)
Corrigé
  1. A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires, c’est-à-dire si leur déterminant est nul.
  2. AB→ (4 ; 1)AC→ (−8 ; m)\overrightarrow{AB}\,(4 \,;\, 1) \qquad \overrightarrow{AC}\,(-8 \,;\, m)
  3. 4×m−1×(−8)=0  ⟺  m=−24 \times m - 1 \times (-8) = 0 \iff m = -2

Réponsem = −2-2

5.

Pour quelle valeur de m les points A, B et C sont-ils alignés ?

A(4 ; 3)B(6 ; 0)C(0 ; m)A(4 \,;\, 3) \qquad B(6 \,;\, 0) \qquad C(0 \,;\, m)
Corrigé
  1. A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires, c’est-à-dire si leur déterminant est nul.
  2. AB→ (2 ; −3)AC→ (−4 ; m−3)\overrightarrow{AB}\,(2 \,;\, -3) \qquad \overrightarrow{AC}\,(-4 \,;\, m - 3)
  3. 2×(m−3)−(−3)×(−4)=0  ⟺  m=92 \times (m - 3) - (-3) \times (-4) = 0 \iff m = 9

Réponsem = 99

6.

Pour quelle valeur de m les points A, B et C sont-ils alignés ?

A(3 ; −2)B(1 ; −1)C(5 ; m)A(3 \,;\, -2) \qquad B(1 \,;\, -1) \qquad C(5 \,;\, m)
Corrigé
  1. A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires, c’est-à-dire si leur déterminant est nul.
  2. AB→ (−2 ; 1)AC→ (2 ; m+2)\overrightarrow{AB}\,(-2 \,;\, 1) \qquad \overrightarrow{AC}\,(2 \,;\, m + 2)
  3. (−2)×(m+2)−1×2=0  ⟺  m=−3(-2) \times (m + 2) - 1 \times 2 = 0 \iff m = -3

Réponsem = −3-3