FicheNiveau : 2NDE

Vecteurs : coordonnées, distance et milieu

Calculer les coordonnées d’un vecteur AB, d’une somme ou d’une combinaison comme 2u − 3v, la distance entre deux points et le milieu d’un segment.

L’essentiel

Le plan est muni d’un repère orthonormé, donc d’une base orthonormée. Un vecteur $\vec{u}$ a des coordonnées $\vec{u}\,(x \,;\, y)$ : il correspond à un déplacement de $x$ unités horizontalement et de $y$ unités verticalement.

Avec deux points $A(x_A \,;\, y_A)$ et $B(x_B \,;\, y_B)$ : $\overrightarrow{AB}\,(x_B - x_A \,;\, y_B - y_A)$ , c’est-à-dire arrivée moins départ.
Somme : si $\vec{u}\,(x \,;\, y)$ et $\vec{v}\,(x' \,;\, y')$ , alors $\vec{u} + \vec{v}$ a pour coordonnées $(x + x' \,;\, y + y')$ .
Produit par un réel $k$ : $k\vec{u}$ a pour coordonnées $(kx \,;\, ky)$ .
Norme : $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$ . La distance $AB$ est la norme de $\overrightarrow{AB}$ :

AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

Milieu : $I$ est le milieu de $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}$ . Ses coordonnées sont les moyennes de celles de $A$ et $B$ :

I\left(\dfrac{x_A + x_B}{2} \,;\, \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)

La méthode pour une combinaison

Pour $\vec{w} = 2\vec{u} - 3\vec{v}$ , on calcule coordonnée par coordonnée : d’abord les abscisses, puis les ordonnées, en mettant les nombres négatifs entre parenthèses.

x_{\vec w} = 2x - 3x' \qquad y_{\vec w} = 2y - 3y'

Exemples corrigés

Avec $A(-2 \,;\, 3)$ et $B(4 \,;\, -5)$ :

$\overrightarrow{AB}\,(4 - (-2) \,;\, -5 - 3) = \boxed{(6 \,;\, -8)}$ ;
$AB = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = \boxed{10}$ ;
le milieu de $[AB]$ est $I\left(\dfrac{-2 + 4}{2} \,;\, \dfrac{3 + (-5)}{2}\right) = \boxed{(1 \,;\, -1)}$ .

Milieu d’un segment et distanceS’entraîner

Avec $\vec{u}\,(3 \,;\, -1)$ , $\vec{v}\,(-2 \,;\, 4)$ et $\vec{w} = 2\vec{u} - 3\vec{v}$ :

x_{\vec w} = 2 \times 3 - 3 \times (-2) = 6 + 6 = 12 \qquad y_{\vec w} = 2 \times (-1) - 3 \times 4 = -2 - 12 = -14

Donc $\boxed{\vec{w}\,(12 \,;\, -14)}$ .

Coordonnées d’un vecteurS’entraîner

Les pièges

Inverser l’ordre : $\overrightarrow{AB}$ se calcule avec $x_B - x_A$ , pas $x_A - x_B$ (on obtiendrait $\overrightarrow{BA}$ , le vecteur opposé).
Les signes : $-3 \times (-2) = +6$ , et $(-8)^2 = 64$ , pas $-64$ .
$\sqrt{36 + 64}$ ne vaut pas $\sqrt{36} + \sqrt{64} = 14$ : on additionne avant de prendre la racine.
Le milieu se calcule avec une somme divisée par $2$ , pas avec une différence.
La formule de la distance n’est valable que dans un repère orthonormé.