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FicheNiveau : 1RE SPÉ

Équation d’un cercle : centre et rayon

Écrire l’équation d’un cercle de centre et de rayon donnés, et retrouver centre et rayon en complétant les carrés.

L’essentiel

Dans un repère orthonormé, le cercle de centre Ω(a ; b)\Omega(a \,;\, b) et de rayon rr a pour équation :

(x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

Un point M(x ; y)M(x \,;\, y) est sur le cercle exactement quand ΩM=r\Omega M = r, c’est-à-dire ΩM2=r2\Omega M^2 = r^2.

Le cercle de diamètre [AB][AB] est l’ensemble des points MM tels que MA→⋅MB→=0\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0.

La méthode

Pour une équation développée comme x2+y2−6x+4y−12=0x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0, on complète les carrés :

  1. Regroupe les termes en xx et en yy : (x2−6x)+(y2+4y)=12(x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) = 12.
  2. Fais apparaître des carrés : x2−6x=(x−3)2−9x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9 et y2+4y=(y+2)2−4y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4.
  3. Conclus : (x−3)2+(y+2)2=12+9+4=25(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 12 + 9 + 4 = 25.

Centre Ω(3 ; −2)\Omega(3 \,;\, -2), rayon r=25=5r = \sqrt{25} = \boxed{5}.

Exemple corrigé

Équation du cercle de centre Ω(−1 ; 4)\Omega(-1 \,;\, 4) passant par A(2 ; 0)A(2 \,;\, 0).

r2=ΩA2=(2−(−1))2+(0−4)2=9+16=25r^2 = \Omega A^2 = (2 - (-1))^2 + (0 - 4)^2 = 9 + 16 = 25 (x+1)2+(y−4)2=25\boxed{(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 25}

Rayon d’un cercle à partir de son équationS’entraîner

Les pièges

  • Signes du centre : (x+1)2(x + 1)^2 correspond à a=−1a = -1.
  • Le membre de droite est r2r^2, pas rr : (x−2)2+y2=9(x - 2)^2 + y^2 = 9 a pour rayon 33.
  • Si, après avoir complété les carrés, le membre de droite est négatif, l’équation n’est pas celle d’un cercle.