FicheNiveau : 1RE SPÉ

Équations du second degré : discriminant et racines

Résoudre ax² + bx + c = 0 avec le discriminant, trouver une racine évidente et utiliser la somme et le produit des racines.

L’essentiel

Pour $ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ , le discriminant est :

\Delta = b^2 - 4ac

Si $\Delta > 0$ : deux racines $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ .
Si $\Delta = 0$ : une racine double $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ .
Si $\Delta < 0$ : pas de racine réelle.

Quand il y a deux racines, $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ , et :

x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \qquad x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}

Signe : le trinôme est du signe de $a$ , sauf entre les racines.

Repère $a$ , $b$ et $c$ avec leur signe : dans $-x^2 + 4x - 3$ , $a = -1$ , $b = 4$ , $c = -3$ .
Avant de calculer $\Delta$ , cherche une racine évidente ( $1$ , $-1$ , $2$ …) : si $a + b + c = 0$ , alors $1$ est racine. L’autre vient du produit : $x_2 = \dfrac{c}{a}$ .
Si rien n’est évident, calcule $\Delta$ , puis applique les formules.

Résoudre $2x^2 - 2x - 12 = 0$ .

\Delta = (-2)^2 - 4 \times 2 \times (-12) = 4 + 96 = \boxed{100} \qquad \sqrt{\Delta} = 10

x_1 = \dfrac{2 - 10}{4} = -2 \qquad x_2 = \dfrac{2 + 10}{4} = 3

$\boxed{S = \{-2 \,;\, 3\}}$ . Contrôle : $x_1 \times x_2 = -6 = \dfrac{-12}{2}$ .

$b^2$ est toujours positif : avec $b = -5$ , $b^2 = 25$ , pas $-25$ .
Le dénominateur est $2a$ , pas $2$ : avec $a = 3$ , on divise par $6$ .
Si $a$ est négatif, $x_1$ peut être plus grand que $x_2$ : range les solutions à la fin.
$\Delta < 0$ ne veut pas dire « solution négative » : il n’y a aucune solution réelle.