3 types d’exercices, trois exemples corrigés pour chacun. Tout se fait sans calculatrice. Pour une série sans fin, avec ta maîtrise de la notion, passe par l’exerciseur.
Δ = b 2 − 4 a c \Delta = b^2 - 4ac Δ = b 2 − 4 a c a x 2 + b x + c ax^2 + bx + c a x 2 + b x + c b 2 b^2 b 2
1. Calcule le discriminant du trinôme.
f ( x ) = − 2 x 2 − 3 x − 7 f(x) = -2x^2 - 3x - 7 f ( x ) = − 2 x 2 − 3 x − 7 Corrigé Δ = b 2 − 4 a c \Delta = b^2 - 4ac Δ = b 2 − 4 a c Δ = ( − 3 ) 2 − 4 × ( − 2 ) × ( − 7 ) = 9 − 56 = − 47 \Delta = (-3)^2 - 4 \times (-2) \times (-7) = 9 - 56 = -47 Δ = ( − 3 ) 2 − 4 × ( − 2 ) × ( − 7 ) = 9 − 56 = − 47 Δ < 0 : pas de racine réelle. Réponse Δ = − 47 -47 − 47
2. Calcule le discriminant du trinôme.
f ( x ) = 2 x 2 + 6 x + 4 f(x) = 2x^2 + 6x + 4 f ( x ) = 2 x 2 + 6 x + 4 Corrigé Δ = b 2 − 4 a c \Delta = b^2 - 4ac Δ = b 2 − 4 a c Δ = 6 2 − 4 × 2 × 4 = 36 − 32 = 4 \Delta = 6^2 - 4 \times 2 \times 4 = 36 - 32 = 4 Δ = 6 2 − 4 × 2 × 4 = 36 − 32 = 4 Δ > 0 : deux racines distinctes. Réponse Δ = 4 4 4
3. Calcule le discriminant du trinôme.
f ( x ) = − 3 x 2 + 6 x + 4 f(x) = -3x^2 + 6x + 4 f ( x ) = − 3 x 2 + 6 x + 4 Corrigé Δ = b 2 − 4 a c \Delta = b^2 - 4ac Δ = b 2 − 4 a c Δ = 6 2 − 4 × ( − 3 ) × 4 = 36 + 48 = 84 \Delta = 6^2 - 4 \times (-3) \times 4 = 36 + 48 = 84 Δ = 6 2 − 4 × ( − 3 ) × 4 = 36 + 48 = 84 Δ > 0 : deux racines distinctes. Réponse Δ = 84 84 84
Si Δ > 0 \Delta > 0 Δ > 0 − b ± Δ 2 a \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} 2 a − b ± Δ Δ = 0 \Delta = 0 Δ = 0 − b 2 a -\dfrac{b}{2a} − 2 a b Δ < 0 \Delta < 0 Δ < 0
4. Résous l’équation dans ℝ. Sépare les solutions par « ; » (ou ∅ s’il n’y en a pas).
2 x 2 − 4 x − 30 = 0 2x^2 - 4x - 30 = 0 2 x 2 − 4 x − 30 = 0 Corrigé Δ = ( − 4 ) 2 − 4 × 2 × ( − 30 ) = 256 \Delta = (-4)^2 - 4 \times 2 \times (-30) = 256 Δ = ( − 4 ) 2 − 4 × 2 × ( − 30 ) = 256 x 1 = 4 − 16 4 = − 3 x 2 = 4 + 16 4 = 5 x_1 = \dfrac{4 - 16}{4} = -3 \qquad x_2 = \dfrac{4 + 16}{4} = 5 x 1 = 4 4 − 16 = − 3 x 2 = 4 4 + 16 = 5 S = { − 3 ; 5 } S = \{-3 \,;\, 5\} S = { − 3 ; 5 } Réponse S = S = { − 3 ; 5 } S = \{-3 \,;\, 5\} S = { − 3 ; 5 }
5. Résous l’équation dans ℝ. Sépare les solutions par « ; » (ou ∅ s’il n’y en a pas).
x 2 − x − 20 = 0 x^2 - x - 20 = 0 x 2 − x − 20 = 0 Corrigé Δ = ( − 1 ) 2 − 4 × 1 × ( − 20 ) = 81 \Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-20) = 81 Δ = ( − 1 ) 2 − 4 × 1 × ( − 20 ) = 81 x 1 = 1 − 9 2 = − 4 x 2 = 1 + 9 2 = 5 x_1 = \dfrac{1 - 9}{2} = -4 \qquad x_2 = \dfrac{1 + 9}{2} = 5 x 1 = 2 1 − 9 = − 4 x 2 = 2 1 + 9 = 5 S = { − 4 ; 5 } S = \{-4 \,;\, 5\} S = { − 4 ; 5 } Réponse S = S = { − 4 ; 5 } S = \{-4 \,;\, 5\} S = { − 4 ; 5 }
6. Résous l’équation dans ℝ. Sépare les solutions par « ; » (ou ∅ s’il n’y en a pas).
x 2 + 2 x + 1 = 0 x^2 + 2x + 1 = 0 x 2 + 2 x + 1 = 0 Corrigé Δ = 2 2 − 4 × 1 × 1 = 0 \Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times 1 = 0 Δ = 2 2 − 4 × 1 × 1 = 0 x 0 = − b 2 a = − 2 2 = − 1 x_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{2}{2} = -1 x 0 = − 2 a b = − 2 2 = − 1 S = { − 1 } S = \{-1\} S = { − 1 } Réponse S = S = { − 1 } S = \{-1\} S = { − 1 }
Le produit des racines de a x 2 + b x + c ax^2 + bx + c a x 2 + b x + c c a \dfrac{c}{a} a c x 1 x_1 x 1 x 2 = c a x 1 x_2 = \dfrac{c}{a\,x_1} x 2 = a x 1 c
7. Le trinôme admet −1 pour racine. Trouve l’autre racine à l’aide du produit des racines.
f ( x ) = − x 2 + x + 2 x 1 = − 1 f(x) = -x^2 + x + 2 \qquad x_1 = -1 f ( x ) = − x 2 + x + 2 x 1 = − 1 Corrigé x 1 × x 2 = c a x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a} x 1 × x 2 = a c − 1 × x 2 = 2 − 1 = − 2 donc x 2 = 2 -1 \times x_2 = \dfrac{2}{-1} = -2 \quad\text{donc}\quad x_2 = 2 − 1 × x 2 = − 1 2 = − 2 donc x 2 = 2 Réponse x₂ = 2 2 2
8. Le trinôme admet 1 pour racine. Trouve l’autre racine à l’aide du produit des racines.
f ( x ) = 3 x 2 + 18 x − 21 x 1 = 1 f(x) = 3x^2 + 18x - 21 \qquad x_1 = 1 f ( x ) = 3 x 2 + 18 x − 21 x 1 = 1 Corrigé x 1 × x 2 = c a x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a} x 1 × x 2 = a c 1 × x 2 = − 21 3 = − 7 donc x 2 = − 7 1 \times x_2 = \dfrac{-21}{3} = -7 \quad\text{donc}\quad x_2 = -7 1 × x 2 = 3 − 21 = − 7 donc x 2 = − 7 Réponse x₂ = − 7 -7 − 7
9. Le trinôme admet −2 pour racine. Trouve l’autre racine à l’aide du produit des racines.
f ( x ) = 3 x 2 + 27 x + 42 x 1 = − 2 f(x) = 3x^2 + 27x + 42 \qquad x_1 = -2 f ( x ) = 3 x 2 + 27 x + 42 x 1 = − 2 Corrigé x 1 × x 2 = c a x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a} x 1 × x 2 = a c − 2 × x 2 = 42 3 = 14 donc x 2 = − 7 -2 \times x_2 = \dfrac{42}{3} = 14 \quad\text{donc}\quad x_2 = -7 − 2 × x 2 = 3 42 = 14 donc x 2 = − 7 Réponse x₂ = − 7 -7 − 7