FicheNiveau : 1RE SPÉ

Forme canonique, sommet de la parabole et extremum

Passer à la forme canonique a(x − α)² + β, trouver le sommet de la parabole et le minimum ou le maximum d’un trinôme.

L’essentiel

Tout trinôme $f(x) = ax^2 + bx + c$ peut s’écrire sous forme canonique :

f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta \qquad \text{avec} \qquad \alpha = -\dfrac{b}{2a} \quad\text{et}\quad \beta = f(\alpha)

La parabole a pour sommet $S(\alpha \,;\, \beta)$ et pour axe de symétrie la droite $x = \alpha$ .

Si $a > 0$ , la parabole est tournée vers le haut : $f$ admet un minimum $\beta$ , atteint en $\alpha$ .
Si $a < 0$ , elle est tournée vers le bas : $f$ admet un maximum $\beta$ .

Calcule $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ .
Calcule $\beta = f(\alpha)$ en remplaçant $x$ par $\alpha$ , avec des parenthèses.
Écris $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ , puis vérifie en développant.

$f(x) = 2x^2 - 12x + 13$ .

\alpha = -\dfrac{-12}{2 \times 2} = 3 \qquad \beta = f(3) = 2 \times 9 - 36 + 13 = -5

\boxed{f(x) = 2(x - 3)^2 - 5}

$a = 2 > 0$ : $f$ admet un minimum, égal à $-5$ , atteint en $x = 3$ .

$a(x - \alpha)^2$ : avec $\alpha = -4$ , on écrit $(x + 4)^2$ .
N’oublie pas le coefficient $a$ devant la parenthèse : $2x^2 - 12x + 13 \neq (x - 3)^2 - 5$ .
Le minimum est la valeur $\beta$ , pas l’abscisse $\alpha$ où il est atteint.