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Exercices corrigésNiveau : 1RE SPÉ

Forme canonique et sommet : exercices corrigés

2 types d’exercices, trois exemples corrigés pour chacun. Tout se fait sans calculatrice. Pour une série sans fin, avec ta maîtrise de la notion, passe par l’exerciseur.

  • 6 exercices
  • corrigés pas à pas
  • sans calculatrice
  • 1re spécialité

Sommet de la parabole et extremum

S’entraîner sur ce type

Le sommet a pour abscisse α=−b2a\alpha = -\dfrac{b}{2a} et pour ordonnée β=f(α)\beta = f(\alpha) : c’est le minimum si a>0a > 0, le maximum si a<0a < 0.

1.

Quelle est l’abscisse α du sommet de la parabole ?

f(x)=x2−6x+12f(x) = x^2 - 6x + 12
Corrigé
  1. α=−b2a=−−62=3\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-6}{2} = 3

Réponseα = 33

2.

Quelle est l’abscisse α du sommet de la parabole ?

f(x)=−2x2+4x−2f(x) = -2x^2 + 4x - 2
Corrigé
  1. α=−b2a=−4−4=1\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{-4} = 1

Réponseα = 11

3.

Quelle est l’abscisse α du sommet de la parabole ?

f(x)=−2x2−12x−10f(x) = -2x^2 - 12x - 10
Corrigé
  1. α=−b2a=−−12−4=−3\alpha = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-12}{-4} = -3

Réponseα = −3-3

Exploiter la forme canonique

S’entraîner sur ce type

Avec f(x)=a(x−α)2+βf(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta : f(x)=0  ⟺  (x−α)2=−βaf(x) = 0 \iff (x - \alpha)^2 = -\dfrac{\beta}{a}, qui a deux, une ou aucune solution selon le signe de ce nombre. f(x)f(x) a le signe de aa à l’extérieur des racines.

4.

Sur quel ensemble f(x) est-il négatif ou nul ?

f(x)=−(x−5)2+4f(x) = -(x - 5)^2 + 4
Corrigé
  1. Racines : −(x−5)2=−4  ⟺  (x−5)2=4-(x - 5)^2 = -4 \iff (x - 5)^2 = 4, donc x=3x = 3 ou x=7x = 7.
  2. a=−1<0a = -1 < 0 : f(x)f(x) est négative à l’extérieur des racines, positive entre elles.
  3. x∈]−∞ ; 3]∪[7 ; +∞[x \in \mathopen{]}-\infty \,;\, 3\mathclose{]} \cup \mathopen{[}7 \,;\, +\infty\mathclose{[}

Réponsex ∈ ]−∞ ; 3]∪[7 ; +∞[\mathopen{]}-\infty \,;\, 3\mathclose{]} \cup \mathopen{[}7 \,;\, +\infty\mathclose{[}

5.

Sur quel ensemble f(x) est-il négatif ou nul ?

f(x)=3(x+4)2−48f(x) = 3(x + 4)^2 - 48
Corrigé
  1. Racines : 3(x+4)2=48  ⟺  (x+4)2=163(x + 4)^2 = 48 \iff (x + 4)^2 = 16, donc x=−8x = -8 ou x=0x = 0.
  2. a=3>0a = 3 > 0 : f(x)f(x) est positive à l’extérieur des racines, négative entre elles.
  3. x∈[−8 ; 0]x \in \mathopen{[}-8 \,;\, 0\mathclose{]}

Réponsex ∈ [−8 ; 0]\mathopen{[}-8 \,;\, 0\mathclose{]}

6.

Résous l’équation f(x) = 0. Donne les solutions séparées par « ; ».

f(x)=3(x+2)2−27f(x) = 3(x + 2)^2 - 27
Corrigé
  1. f(x)=0  ⟺  3(x+2)2=27  ⟺  (x+2)2=9  ⟺  x+2=3  ou  x+2=−3f(x) = 0 \iff 3(x + 2)^2 = 27 \iff (x + 2)^2 = 9 \iff x + 2 = 3 \;\text{ou}\; x + 2 = -3
  2. x=1oux=−5x = 1 \quad\text{ou}\quad x = -5

RéponseS = S={−5 ; 1}S = \{-5 \,;\, 1\}