FicheNiveau : 1RE SPÉ

Équation de la tangente à une courbe

Trouver l’équation réduite de la tangente à la courbe d’une fonction en un point, et lire un nombre dérivé sur un graphique.

L’essentiel

La tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ passe par le point $(a \,;\, f(a))$ et a pour coefficient directeur $f'(a)$ . Son équation est :

y = f'(a)(x - a) + f(a)

Lecture graphique : $f'(a)$ est la pente de la tangente. Si la tangente est horizontale, $f'(a) = 0$ (c’est souvent un extremum).

Approximation : près de $a$ , $f(a + h) \approx f(a) + f'(a)\,h$ .

La méthode

Calcule $f(a)$ .
Calcule $f'(x)$ , puis $f'(a)$ .
Remplace dans $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ , puis développe pour obtenir la forme réduite $y = mx + p$ .

Exemple corrigé

$f(x) = x^2 - 3x + 1$ . Tangente au point d’abscisse $2$ .

f(2) = 4 - 6 + 1 = -1 \qquad f'(x) = 2x - 3 \qquad f'(2) = 1

y = 1 \times (x - 2) + (-1) = \boxed{x - 3}

Contrôle : le point $(2 \,;\, -1)$ vérifie bien $y = x - 3$ .

Équation de la tangente en un pointS’entraîner

Les pièges

Ne pas confondre $f(a)$ (une ordonnée) et $f'(a)$ (une pente).
Avec $a$ négatif : $x - (-3) = x + 3$ .
L’équation de la tangente ne contient que $x$ et des nombres : il ne doit pas rester de $a$ .