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FicheNiveau : 1RE SPÉ

Variations d’une fonction et signe de la dérivée

Étudier les variations d’une fonction avec le signe de sa dérivée, dresser le tableau de variations et trouver les extremums.

L’essentiel

Sur un intervalle II, pour une fonction ff dérivable :

  • si f′(x)≥0f'(x) \geq 0 sur II (nulle en des points isolés), ff est croissante sur II ;
  • si f′(x)≤0f'(x) \leq 0 sur II, ff est décroissante sur II ;
  • si f′(x)=0f'(x) = 0 sur tout II, ff est constante sur II.

Extremum local : si f′f' s’annule en aa en changeant de signe, ff admet un extremum local en aa. Un maximum si f′f' passe de ++ à −-, un minimum si elle passe de −- à ++. La tangente y est horizontale.

Parité : ff, définie sur un ensemble symétrique par rapport à 00, est paire si f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) pour tout xx (courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, comme x2x^2), impaire si f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) (courbe symétrique par rapport à l’origine, comme x3x^3 ou 1x\dfrac{1}{x}). Il suffit d’étudier une fonction paire ou impaire sur [0 ; +∞[[0 \,;\, +\infty\mathclose{[}. Pour montrer qu’une fonction n’est ni paire ni impaire, un contre-exemple suffit : f(x)=x2+xf(x) = x^2 + x donne f(1)=2f(1) = 2 et f(−1)=0f(-1) = 0.

La méthode

  1. Calcule f′(x)f'(x).
  2. Étudie son signe : factorise si possible (produit de facteurs du premier degré, trinôme du second degré).
  3. Dresse le tableau de variations : une flèche montante là où f′>0f' > 0, descendante là où f′<0f' < 0.
  4. Calcule les valeurs de ff aux points où f′f' s’annule : ce sont les extremums locaux.

Exemple corrigé

f(x)=x3−3x2−9x+4f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 4 sur R\mathbb{R}.

f′(x)=3x2−6x−9=3(x2−2x−3)=3(x+1)(x−3)f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x + 1)(x - 3)

f′f' est un trinôme de coefficient 3>03 > 0 : positif à l’extérieur des racines −1-1 et 33, négatif entre.

x−∞−13+∞f′(x)+0−0+f↗9↘−23↗\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -1 & & 3 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline f & & \nearrow & 9 & \searrow & -23 & \nearrow & \end{array}

f(−1)=−1−3+9+4=9f(-1) = -1 - 3 + 9 + 4 = \boxed{9} (maximum local) et f(3)=27−27−27+4=−23f(3) = 27 - 27 - 27 + 4 = \boxed{-23} (minimum local).

Variations d’une fonction avec la dérivéeS’entraîner

Les pièges

  • On étudie le signe de f′f', pas celui de ff.
  • f′(a)=0f'(a) = 0 ne suffit pas pour un extremum : avec f(x)=x3f(x) = x^3, f′(0)=0f'(0) = 0 mais f′f' ne change pas de signe.
  • Un maximum local n’est pas forcément le plus grand de tous : ici ff dépasse 99 pour xx assez grand.