Profs
Exercices corrigésNiveau : 1RE SPÉ

Variations et signe de la dérivée : exercices corrigés

Trois exemples corrigés pas à pas. Tout se fait sans calculatrice. Pour une série sans fin, avec ta maîtrise de la notion, passe par l’exerciseur.

  • 3 exercices
  • corrigés pas à pas
  • sans calculatrice
  • 1re spécialité

Variations d’une fonction avec la dérivée

S’entraîner sur ce type

On étudie le signe de f′(x)f'(x) : ff est croissante là où f′≥0f' \geq 0, décroissante là où f′≤0f' \leq 0. Un maximum local correspond à un passage de ++ à −-.

1.

Sur quel(s) intervalle(s) la fonction f est-elle croissante ?

f(x)=−x3+3x2+2f(x) = -x^3 + 3x^2 + 2
Corrigé
  1. f′(x)=−3x2+6x=−3x(x−2)f'(x) = -3x^2 + 6x = -3x(x - 2)
  2. f′f' s’annule en 00 et 22 ; elle est du signe de −3-3 à l’extérieur des racines.
  3. ff est croissante sur [0 ; 2]\mathopen{[}0 \,;\, 2\mathclose{]}.

RéponseI = [0 ; 2]\mathopen{[}0 \,;\, 2\mathclose{]}

2.

Sur quel(s) intervalle(s) la fonction f est-elle croissante ?

f(x)=−x3−3x2+4f(x) = -x^3 - 3x^2 + 4
Corrigé
  1. f′(x)=−3x2−6x=−3(x+2)xf'(x) = -3x^2 - 6x = -3(x + 2)x
  2. f′f' s’annule en −2-2 et 00 ; elle est du signe de −3-3 à l’extérieur des racines.
  3. ff est croissante sur [−2 ; 0]\mathopen{[}-2 \,;\, 0\mathclose{]}.

RéponseI = [−2 ; 0]\mathopen{[}-2 \,;\, 0\mathclose{]}

3.

En quelle valeur de x la fonction f admet-elle un maximum local ?

f(x)=x3−12x+4f(x) = x^3 - 12x + 4
Corrigé
  1. f′(x)=3x2−12=3(x+2)(x−2)f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x + 2)(x - 2)
  2. f′f' s’annule en −2-2 et 22 ; elle est du signe de 33 à l’extérieur des racines.
  3. ff est croissante puis décroissante autour de −2-2 : maximum local en x=−2x = -2.

Réponsex = −2-2