FicheNiveau : 1RE SPÉ

Suites géométriques : terme général, somme et variations

Reconnaître une suite géométrique, calculer ses termes, la somme 1 + q + … + qⁿ et étudier son sens de variation.

L’essentiel

Une suite $(v_n)$ est géométrique quand on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$ , la raison :

v_{n+1} = q \times v_n

Terme général :

v_n = v_0 \times q^n \qquad \text{et plus généralement} \qquad v_n = v_p \times q^{n - p}

Somme (pour $q \neq 1$ ) :

1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \dfrac{q^{n+1} - 1}{q - 1}

Sens de variation (avec $v_0 > 0$ ) : croissante si $q > 1$ , décroissante si $0 < q < 1$ . Si $v_0 < 0$ , c’est l’inverse. Si $q < 0$ , les termes changent de signe à chaque rang : la suite n’est ni croissante ni décroissante.

Lien avec les pourcentages : augmenter de $t\,\%$ chaque année, c’est multiplier par $q = 1 + \dfrac{t}{100}$ .

La méthode

Pour montrer qu’une suite (à termes non nuls) est géométrique, calcule $\dfrac{v_{n+1}}{v_n}$ : s’il ne dépend pas de $n$ , c’est la raison.
Pour un capital placé à $3\,\%$ par an : $C_n = C_0 \times 1{,}03^n$ .
Pour une somme qui ne commence pas à $1$ , factorise par le premier terme : $v_0 + v_1 + \cdots + v_n = v_0 \times \dfrac{q^{n+1} - 1}{q - 1}$ .

Exemple corrigé

$(v_n)$ est géométrique, avec $v_0 = 5$ et $q = 2$ . Calculer $v_4$ et $S = v_0 + v_1 + \cdots + v_4$ .

v_4 = 5 \times 2^4 = \boxed{80}

S = 5 \times \dfrac{2^5 - 1}{2 - 1} = 5 \times 31 = \boxed{155}

Vérification : $5 + 10 + 20 + 40 + 80 = 155$ .

Calculer un terme d’une suite géométriqueS’entraîner

Somme des termes d’une suite géométriqueS’entraîner

Les pièges

$v_n = v_0 \times q^n$ , et pas $(v_0 \times q)^n$ .
Dans la somme, l’exposant du haut est $n + 1$ : $1 + 2 + \cdots + 2^5$ compte six termes et vaut $2^6 - 1 = 63$ .
Une baisse de $20\,\%$ par an donne $q = 0{,}8$ , et non $q = -0{,}2$ .