FicheNiveau : 1RE SPÉ

Suites arithmétiques : terme général, somme et variations

Reconnaître une suite arithmétique, calculer n’importe quel terme, la somme de termes consécutifs et son sens de variation.

L’essentiel

Une suite peut être définie explicitement, $u_n = f(n)$ (on remplace $n$ par sa valeur), ou par récurrence, avec un premier terme et une relation $u_{n+1} = f(u_n)$ (on calcule les termes de proche en proche). Par exemple, avec $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 3u_n - 1$ : $u_1 = 5$ , $u_2 = 14$ , $u_3 = 41$ .

Une suite $(u_n)$ est arithmétique quand on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $r$ , la raison :

u_{n+1} = u_n + r

Terme général : on ajoute $r$ autant de fois qu’il y a de « pas » entre les deux rangs.

u_n = u_0 + nr \qquad \text{et plus généralement} \qquad u_n = u_p + (n - p)r

Somme des premiers entiers :

1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}

Somme de termes consécutifs : $S = \text{nombre de termes} \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$ .

Sens de variation : $u_{n+1} - u_n = r$ . La suite est croissante si $r > 0$ , décroissante si $r < 0$ , constante si $r = 0$ .

La méthode

Pour montrer qu’une suite est arithmétique, calcule $u_{n+1} - u_n$ : si le résultat ne dépend pas de $n$ , c’est la raison.
Pour calculer $u_{20}$ connaissant $u_3$ : il y a $20 - 3 = 17$ pas, donc $u_{20} = u_3 + 17r$ .
Pour une somme, compte d’abord les termes : de $u_0$ à $u_n$ , il y en a $n + 1$ .

Exemple corrigé

$(u_n)$ est arithmétique, avec $u_0 = 7$ et $r = -3$ . Calculer $u_{10}$ , puis $S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{10}$ .

u_{10} = 7 + 10 \times (-3) = \boxed{-23}

Il y a $11$ termes, donc :

S = 11 \times \dfrac{7 + (-23)}{2} = 11 \times (-8) = \boxed{-88}

La raison est négative : la suite est décroissante.

Calculer un terme d’une suite arithmétiqueS’entraîner

Somme des termes d’une suite arithmétiqueS’entraîner

Les pièges

Compter les termes : de $u_0$ à $u_{10}$ , il y a $11$ termes, pas $10$ .
$u_n = u_1 + nr$ est faux si la suite commence à $u_1$ : c’est $u_n = u_1 + (n - 1)r$ .
Une suite dont les termes augmentent « de plus en plus » ( $1, 2, 4, 8\ldots$ ) n’est pas arithmétique : la différence n’est pas constante.