Profs
FicheNiveau : 1RE SPÉ

Fonction exponentielle : propriétés et dérivée

Les règles de calcul de l’exponentielle, sa dérivée, son signe et ses variations, et la dérivée de t ↦ e^(at).

L’essentiel

La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur R\mathbb{R} telle que exp⁡′=exp⁡\exp' = \exp et exp⁡(0)=1\exp(0) = 1. On note exp⁡(x)=ex\exp(x) = \mathrm{e}^{x}, avec e≈2,718\mathrm{e} \approx 2{,}718.

Règles de calcul, pour tous réels aa et bb et tout entier nn :

ea×eb=ea+beaeb=ea−be−a=1ea(ea)n=ena\mathrm{e}^{a} \times \mathrm{e}^{b} = \mathrm{e}^{a + b} \qquad \dfrac{\mathrm{e}^{a}}{\mathrm{e}^{b}} = \mathrm{e}^{a - b} \qquad \mathrm{e}^{-a} = \dfrac{1}{\mathrm{e}^{a}} \qquad \left(\mathrm{e}^{a}\right)^{n} = \mathrm{e}^{na}

Signe et variations : ex>0\mathrm{e}^{x} > 0 pour tout xx, et la fonction est strictement croissante sur R\mathbb{R}. Donc ea=eb  ⟺  a=b\mathrm{e}^{a} = \mathrm{e}^{b} \iff a = b et ea<eb  ⟺  a<b\mathrm{e}^{a} < \mathrm{e}^{b} \iff a < b.

Dérivée : (eat)′=a eat\left(\mathrm{e}^{at}\right)' = a\,\mathrm{e}^{at}. Avec k>0k > 0, t↦ektt \mapsto \mathrm{e}^{kt} est croissante et t↦e−ktt \mapsto \mathrm{e}^{-kt} décroissante (décroissance radioactive, refroidissement).

La méthode

  1. Pour simplifier, ramène tout à une seule exponentielle avec les règles, puis additionne ou soustrais les exposants.
  2. Pour résoudre e2x−1=e3\mathrm{e}^{2x - 1} = \mathrm{e}^{3}, égale les exposants : 2x−1=32x - 1 = 3, donc x=2x = 2.
  3. Pour dériver f(t)=5 e−2tf(t) = 5\,\mathrm{e}^{-2t} : f′(t)=5×(−2) e−2t=−10 e−2tf'(t) = 5 \times (-2)\,\mathrm{e}^{-2t} = -10\,\mathrm{e}^{-2t}.

Exemple corrigé

Simplifier A=e3×e−5e−4A = \dfrac{\mathrm{e}^{3} \times \mathrm{e}^{-5}}{\mathrm{e}^{-4}}.

A=e3+(−5)e−4=e−2e−4=e−2−(−4)=e2A = \dfrac{\mathrm{e}^{3 + (-5)}}{\mathrm{e}^{-4}} = \dfrac{\mathrm{e}^{-2}}{\mathrm{e}^{-4}} = \mathrm{e}^{-2 - (-4)} = \boxed{\mathrm{e}^{2}}

Propriétés de la fonction exponentielleS’entraîner

Les pièges

  • ea+eb≠ea+b\mathrm{e}^{a} + \mathrm{e}^{b} \neq \mathrm{e}^{a + b} : la règle vaut pour le produit, pas pour la somme.
  • ex\mathrm{e}^{x} n’est jamais nul ni négatif : l’équation ex=−2\mathrm{e}^{x} = -2 n’a pas de solution.
  • e0=1\mathrm{e}^{0} = 1, et non 00.