FicheNiveau : 1RE SPÉ

Dérivation : dérivées usuelles et nombre dérivé

Les dérivées à connaître par cœur, les règles de calcul (somme, produit, quotient) et le calcul d’un nombre dérivé.

L’essentiel

Le nombre dérivé $f'(a)$ est la pente de la tangente à la courbe au point d’abscisse $a$ . La fonction dérivée $f'$ associe à chaque $x$ son nombre dérivé.

Dérivées usuelles :

Fonction	Dérivée
$k$ (constante)	$0$
$x^n$ ( $n$ entier)	$nx^{n-1}$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ (pour $x > 0$ )
$\mathrm{e}^{ax}$	$a\,\mathrm{e}^{ax}$

Règles de calcul, avec $u$ et $v$ dérivables et $k$ un réel :

(u + v)' = u' + v' \qquad (ku)' = ku' \qquad (uv)' = u'v + uv' \qquad \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}

Lien avec les variations : si $f' > 0$ sur un intervalle, $f$ y est croissante ; si $f' < 0$ , décroissante.

La méthode

Repère la forme de l’expression : somme, produit, quotient ?
Dérive chaque morceau avec le tableau, puis applique la règle.
Pour un nombre dérivé $f'(a)$ : calcule d’abord $f'(x)$ , puis remplace $x$ par $a$ .

Exemple corrigé

$f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 1$ . Calculer $f'(2)$ .

f'(x) = 2 \times 3x^2 - 5 \times 2x + 4 = 6x^2 - 10x + 4

f'(2) = 6 \times 4 - 20 + 4 = \boxed{8}

Calculer un nombre dérivéS’entraîner

Avec un produit : $g(x) = x\,\mathrm{e}^{x}$ , $u = x$ et $v = \mathrm{e}^{x}$ , donc $g'(x) = 1 \times \mathrm{e}^{x} + x\,\mathrm{e}^{x} = \boxed{(x + 1)\,\mathrm{e}^{x}}$ .

Dériver une fonction usuelleS’entraîner

Les pièges

La dérivée d’une constante est nulle : dans $f(x) = x^2 + 7$ , le $7$ disparaît.
$(uv)' \neq u'v'$ : la dérivée d’un produit n’est pas le produit des dérivées.
$\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$ : attention au signe moins.
On ne remplace $x$ par $a$ qu’après avoir dérivé : la dérivée de $f(2)$ , un nombre, vaut $0$ .