2 types d’exercices, trois exemples corrigés pour chacun. Tout se fait sans calculatrice. Pour une série sans fin, avec ta maîtrise de la notion, passe par l’exerciseur.
On dérive terme à terme (( x n ) ′ = n x n − 1 (x^n)' = nx^{n-1} ( x n ) ′ = n x n − 1 x x x f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x )
1. Calcule f′(−3).
f ( x ) = 3 x 3 − 4 x 2 − 6 x + 4 f(x) = 3x^3 - 4x^2 - 6x + 4 f ( x ) = 3 x 3 − 4 x 2 − 6 x + 4 Corrigé f ′ ( x ) = 9 x 2 − 8 x − 6 f'(x) = 9x^2 - 8x - 6 f ′ ( x ) = 9 x 2 − 8 x − 6 f ′ ( − 3 ) = 9 × ( − 3 ) 2 − 8 × ( − 3 ) − 6 = 99 f'(-3) = 9 \times (-3)^2 - 8 \times (-3) - 6 = 99 f ′ ( − 3 ) = 9 × ( − 3 ) 2 − 8 × ( − 3 ) − 6 = 99 Réponse f′(-3) = 99 99 99
2. Calcule f′(−1).
f ( x ) = − 3 x 3 + 2 x 2 − 2 f(x) = -3x^3 + 2x^2 - 2 f ( x ) = − 3 x 3 + 2 x 2 − 2 Corrigé f ′ ( x ) = − 9 x 2 + 4 x f'(x) = -9x^2 + 4x f ′ ( x ) = − 9 x 2 + 4 x f ′ ( − 1 ) = − 9 × ( − 1 ) 2 + 4 × ( − 1 ) = − 13 f'(-1) = -9 \times (-1)^2 + 4 \times (-1) = -13 f ′ ( − 1 ) = − 9 × ( − 1 ) 2 + 4 × ( − 1 ) = − 13 Réponse f′(-1) = − 13 -13 − 13
3. Calcule f′(2).
f ( x ) = − x 3 − 3 x 2 − 6 x + 9 f(x) = -x^3 - 3x^2 - 6x + 9 f ( x ) = − x 3 − 3 x 2 − 6 x + 9 Corrigé f ′ ( x ) = − 3 x 2 − 6 x − 6 f'(x) = -3x^2 - 6x - 6 f ′ ( x ) = − 3 x 2 − 6 x − 6 f ′ ( 2 ) = − 3 × 2 2 − 6 × 2 − 6 = − 30 f'(2) = -3 \times 2^2 - 6 \times 2 - 6 = -30 f ′ ( 2 ) = − 3 × 2 2 − 6 × 2 − 6 = − 30 Réponse f′(2) = − 30 -30 − 30
( x n ) ′ = n x n − 1 (x^n)' = nx^{n-1} ( x n ) ′ = n x n − 1 ( x ) ′ = 1 2 x (\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} ( x ) ′ = 2 x 1 ( e a x ) ′ = a e a x (\mathrm{e}^{ax})' = a\,\mathrm{e}^{ax} ( e a x ) ′ = a e a x ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ (uv)' = u'v + uv' ( uv ) ′ = u ′ v + u v ′
4. Quelle est la fonction dérivée de f ?
f ( x ) = 1 x f(x) = \dfrac{1}{x} f ( x ) = x 1 A. 1 x 2 \dfrac{1}{x^2} x 2 1 B. − 1 x -\dfrac{1}{x} − x 1 C. − 1 x 2 -\dfrac{1}{x^2} − x 2 1 D. 1 2 x \dfrac{1}{2x} 2 x 1
Corrigé ( 1 x ) ′ = − 1 x 2 \left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2} ( x 1 ) ′ = − x 2 1 f ′ ( x ) = − 1 x 2 f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} f ′ ( x ) = − x 2 1 Réponse − 1 x 2 -\dfrac{1}{x^2} − x 2 1
5. Quelle est la fonction dérivée de f ?
A. 3 x 4 3x^4 3 x 4 B. 4 x 5 4x^5 4 x 5 C. 4 x 3 4x^3 4 x 3 D. x 3 x^3 x 3
Corrigé ( x n ) ′ = n x n − 1 (x^n)' = nx^{n-1} ( x n ) ′ = n x n − 1 f ′ ( x ) = 4 x 3 f'(x) = 4x^3 f ′ ( x ) = 4 x 3 Réponse 4 x 3 4x^3 4 x 3
6. Quelle est la fonction dérivée de f ?
f ( x ) = x e x f(x) = x\mathrm{e}^{x} f ( x ) = x e x A. e x \mathrm{e}^{x} e x B. x e x x\mathrm{e}^{x} x e x C. ( x + 1 ) e x (x + 1)\mathrm{e}^{x} ( x + 1 ) e x D. ( x − 1 ) e x (x - 1)\mathrm{e}^{x} ( x − 1 ) e x
Corrigé ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ = 1 × e x + x e x = ( x + 1 ) e x (uv)' = u'v + uv' = 1 \times \mathrm{e}^{x} + x\mathrm{e}^{x} = (x + 1)\mathrm{e}^{x} ( uv ) ′ = u ′ v + u v ′ = 1 × e x + x e x = ( x + 1 ) e x f ′ ( x ) = ( x + 1 ) e x f'(x) = (x + 1)\mathrm{e}^{x} f ′ ( x ) = ( x + 1 ) e x Réponse ( x + 1 ) e x (x + 1)\mathrm{e}^{x} ( x + 1 ) e x