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Exercices corrigésNiveau : 1RE SPÉ

Fonction exponentielle : exercices corrigés

2 types d’exercices, trois exemples corrigés pour chacun. Tout se fait sans calculatrice. Pour une série sans fin, avec ta maîtrise de la notion, passe par l’exerciseur.

  • 6 exercices
  • corrigés pas à pas
  • sans calculatrice
  • 1re spécialité

Propriétés de la fonction exponentielle

S’entraîner sur ce type

ea×eb=ea+b\mathrm{e}^a \times \mathrm{e}^b = \mathrm{e}^{a+b}, eaeb=ea−b\dfrac{\mathrm{e}^a}{\mathrm{e}^b} = \mathrm{e}^{a-b} et (ea)n=ena(\mathrm{e}^a)^n = \mathrm{e}^{na}.

1.

Écris le nombre sous la forme eᵏ. Donne k.

e6×e−2e4\dfrac{\mathrm{e}^{6} \times \mathrm{e}^{-2}}{\mathrm{e}^{4}}
Corrigé
  1. ea×ebec=ea+b−c\dfrac{\mathrm{e}^{a} \times \mathrm{e}^{b}}{\mathrm{e}^{c}} = \mathrm{e}^{a+b-c}
  2. e6×e−2e4=e0\dfrac{\mathrm{e}^{6} \times \mathrm{e}^{-2}}{\mathrm{e}^{4}} = \mathrm{e}^{0}

Réponsek = 00

2.

Écris le nombre sous la forme eᵏ. Donne k.

e1e1\dfrac{\mathrm{e}^{1}}{\mathrm{e}^{1}}
Corrigé
  1. eaeb=ea−b\dfrac{\mathrm{e}^{a}}{\mathrm{e}^{b}} = \mathrm{e}^{a-b}
  2. e1e1=e0\dfrac{\mathrm{e}^{1}}{\mathrm{e}^{1}} = \mathrm{e}^{0}

Réponsek = 00

3.

Écris le nombre sous la forme eᵏ. Donne k.

e−6×e1e−2\dfrac{\mathrm{e}^{-6} \times \mathrm{e}^{1}}{\mathrm{e}^{-2}}
Corrigé
  1. ea×ebec=ea+b−c\dfrac{\mathrm{e}^{a} \times \mathrm{e}^{b}}{\mathrm{e}^{c}} = \mathrm{e}^{a+b-c}
  2. e−6×e1e−2=e−3\dfrac{\mathrm{e}^{-6} \times \mathrm{e}^{1}}{\mathrm{e}^{-2}} = \mathrm{e}^{-3}

Réponsek = −3-3

Équations, inéquations et signe avec l’exponentielle

S’entraîner sur ce type

La fonction exponentielle est strictement croissante : eu=ev  ⟺  u=v\mathrm{e}^{u} = \mathrm{e}^{v} \iff u = v et eu<ev  ⟺  u<v\mathrm{e}^{u} < \mathrm{e}^{v} \iff u < v ; 1=e01 = \mathrm{e}^{0}. Comme ex>0\mathrm{e}^{x} > 0, (ax+b)ex(ax + b)\mathrm{e}^{x} a le signe de ax+bax + b.

4.

Sur quel intervalle f(x) est-il négatif ou nul ?

f(x)=(x+3)exf(x) = (x + 3)\mathrm{e}^{x}
Corrigé
  1. Pour tout réel xx, ex>0\mathrm{e}^{x} > 0 : f(x)f(x) a le signe de x+3x + 3.
  2. x+3=0  ⟺  x=−3, et le coefficient de x est positif.x + 3 = 0 \iff x = -3, \text{ et le coefficient de } x \text{ est positif.}
  3. x∈]−∞ ; −3]x \in \mathopen{]}-\infty \,;\, -3\mathclose{]}

Réponsex ∈ ]−∞ ; −3]\mathopen{]}-\infty \,;\, -3\mathclose{]}

5.

Résous l’inéquation dans ℝ. Donne l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle.

e3x+2≤e−7\mathrm{e}^{3x + 2} \leq \mathrm{e}^{-7}
Corrigé
  1. La fonction exponentielle est strictement croissante : l’inéquation a le même sens entre les exposants.
  2. 3x+2≤−7  ⟺  3x≤−93x + 2 \leq -7 \iff 3x \leq -9
  3. x≤−3x \leq -3

RéponseS = S=]−∞ ; −3]S = \mathopen{]}-\infty \,;\, -3\mathclose{]}

6.

Sur quel intervalle f(x) est-il positif ou nul ?

f(x)=(−2x−2)exf(x) = (-2x - 2)\mathrm{e}^{x}
Corrigé
  1. Pour tout réel xx, ex>0\mathrm{e}^{x} > 0 : f(x)f(x) a le signe de −2x−2-2x - 2.
  2. −2x−2=0  ⟺  x=−1, et le coefficient de x est neˊgatif.-2x - 2 = 0 \iff x = -1, \text{ et le coefficient de } x \text{ est négatif.}
  3. x∈]−∞ ; −1]x \in \mathopen{]}-\infty \,;\, -1\mathclose{]}

Réponsex ∈ ]−∞ ; −1]\mathopen{]}-\infty \,;\, -1\mathclose{]}