FicheNiveau : 2NDE

Variations et extremums d’une fonction

Fonction croissante, décroissante, tableau de variations, maximum et minimum sur un intervalle, comparaison de deux images.

L’essentiel

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ .

$f$ est croissante sur $I$ si, pour tous $a$ et $b$ de $I$ , $a < b$ entraîne $f(a) \leq f(b)$ : elle conserve l’ordre.
$f$ est décroissante sur $I$ si $a < b$ entraîne $f(a) \geq f(b)$ : elle inverse l’ordre.
Avec des inégalités strictes, $f(a) < f(b)$ ou $f(a) > f(b)$ , on dit strictement croissante ou décroissante.
$f$ est monotone sur $I$ si elle est croissante sur tout $I$ , ou décroissante sur tout $I$ .

Sur la courbe, en allant de gauche à droite : elle monte là où $f$ est croissante, elle descend là où $f$ est décroissante.

Le maximum de $f$ sur $I$ est la plus grande valeur $f(x)$ prise sur $I$ ; le minimum, la plus petite. Ce sont des images (des ordonnées), atteintes en une ou plusieurs valeurs de $x$ .

Fonction affine $f(x) = mx + p$ : croissante sur $\mathbb{R}$ si $m > 0$ , décroissante si $m < 0$ , constante si $m = 0$ .

Lire un tableau de variations

La première ligne donne les valeurs de $x$ , la seconde les images aux bornes et aux changements de sens. Par convention, une flèche montante $\nearrow$ indique que $f$ est strictement croissante sur l’intervalle, une flèche descendante $\searrow$ qu’elle est strictement décroissante. C’est ce qui permet de conclure avec une inégalité stricte, $f(a) < f(b)$ ou $f(a) > f(b)$ .

Extremums sur un intervalle : on compare les valeurs aux bornes et aux « sommets » du tableau qui s’y trouvent. La plus grande est le maximum, la plus petite le minimum.
Comparer $f(a)$ et $f(b)$ : si $a$ et $b$ sont dans un même intervalle où $f$ est monotone, on applique la définition. Strictement croissante : même ordre. Strictement décroissante : ordre inversé.

Exemple corrigé

\begin{array}{c|ccccccc} x & -4 & & -1 & & 2 & & 5 \\ \hline f(x) & 3 & \nearrow & 7 & \searrow & -2 & \nearrow & 4 \end{array}

Sur $[-4 \,;\, 5]$ , on compare $3$ , $7$ , $-2$ et $4$ : le maximum est $\boxed{7}$ , atteint en $x = -1$ , et le minimum est $\boxed{-2}$ , atteint en $x = 2$ .
Sur $[2 \,;\, 5]$ seulement, $f$ est croissante : le minimum est $f(2) = -2$ et le maximum $f(5) = 4$ .
$-3$ et $-2$ sont dans $[-4 \,;\, -1]$ , où $f$ est strictement croissante : $-3 < -2$ donc $f(-3) < f(-2)$ .
$0{,}5$ et $1{,}5$ sont dans $[-1 \,;\, 2]$ , où $f$ est strictement décroissante : $0{,}5 < 1{,}5$ donc $f(0{,}5) > f(1{,}5)$ .
$f(0)$ et $f(4)$ : $0$ et $4$ ne sont pas dans un même intervalle de monotonie. On sait seulement que $f(0)$ est entre $-2$ et $7$ , et $f(4)$ entre $-2$ et $4$ : on ne peut pas conclure.

Lire un tableau de variationsS’entraîner

Fonction affine : $g(x) = -2x + 5$ a un coefficient directeur $-2 < 0$ , elle est décroissante sur $\mathbb{R}$ . Sur $[0 \,;\, 3]$ , son maximum est $g(0) = 5$ et son minimum $g(3) = -1$ .

Les pièges

Répondre $x = -1$ quand on demande le maximum : le maximum est la valeur $7$ , il est atteint en $x = -1$ .
Oublier les bornes : le maximum sur un intervalle peut être une valeur au bord du tableau, pas forcément un « sommet ».
Comparer deux images de part et d’autre d’un changement de sens : la définition ne s’applique que sur un intervalle où $f$ est monotone.
Le tableau ne donne pas les images intermédiaires : on sait que $f(0)$ est entre $-2$ et $7$ , pas sa valeur exacte.