Fonctions de référence et ensemble de définition

Carré, inverse, racine carrée, cube, valeur absolue : variations, signe, inéquations f(x) < k, comparaison d’images et ensemble de définition.

L’essentiel

Résoudre f(x) < k

On cherche d’abord où $f(x) = k$, puis on lit sur la courbe pour quels $x$ elle est sous (ou au-dessus de) la droite $y = k$.

• $x^2 \leq a$ (avec $a > 0$) : solutions entre $-\sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$. $x^2 > a$ : solutions à l’extérieur.
• $\sqrt{x} < k$ (avec $k > 0$) : la racine n’existe que pour $x \geq 0$ et elle est croissante, d’où $S = [0 \,;\, k^2\mathclose{[}$.
• $x^3 \geq k^3$ : la fonction cube conserve l’ordre, d’où $x \geq k$, même si $k$ est négatif.
• $\dfrac{1}{x} < c$ (avec $c > 0$) : tout $x < 0$ convient (l’inverse est alors négatif). Pour $x > 0$, l’inverse est décroissante et vaut $c$ en $\dfrac{1}{c}$.

Comparer f(a) et f(b) sans calculer

1. Ranger $a$ et $b$.
2. Repérer un intervalle où $f$ est monotone et qui les contient tous les deux.
3. Croissante : elle conserve l’ordre. Décroissante : elle l’inverse.

Pour le carré, si $a$ et $b$ sont de signes contraires, on compare leurs distances à $0$ : le plus loin de $0$ a le plus grand carré. Deux opposés ont le même carré.

Pour l’inverse, si $a$ et $b$ sont de signes contraires, pas besoin de monotonie : l’inverse du négatif est négatif, celui du positif est positif.

L’ensemble de définition

On écarte les valeurs interdites : on ne divise pas par $0$, on ne prend la racine carrée que d’un nombre positif ou nul.

• $\dfrac{1}{x - a}$ : $x \neq a$, d’où $D_f = \mathopen{]}-\infty \,;\, a\mathclose{[} \cup \mathopen{]}a \,;\, +\infty\mathclose{[}$.
• $\sqrt{x - a}$ : $x - a \geq 0$, d’où $D_f = [a \,;\, +\infty\mathclose{[}$.
• $\sqrt{a - x}$ : $a - x \geq 0$, soit $x \leq a$, d’où $D_f = \mathopen{]}-\infty \,;\, a]$.
• $\dfrac{1}{\sqrt{x - a}}$ : il faut $x - a > 0$ (racine et dénominateur), d’où $D_f = \mathopen{]}a \,;\, +\infty\mathclose{[}$.

Exemples corrigés

Les pièges