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Exercices corrigésNiveau : 2NDE

Fonctions de référence et ensemble de définition : exercices corrigés

3 types d’exercices, trois exemples corrigés pour chacun. Tout se fait sans calculatrice. Pour une série sans fin, avec ta maîtrise de la notion, passe par l’exerciseur.

  • 9 exercices
  • corrigés pas à pas
  • sans calculatrice
  • seconde

Inéquations avec les fonctions de référence

S’entraîner sur ce type

On s’appuie sur la courbe : x2<ax^2 < a donne ]−a ; a[]-\sqrt{a}\,;\,\sqrt{a}[, la fonction cube est croissante sur ℝ, la racine carrée n’est définie que pour x≥0x \geq 0.

1.

Résous cette inéquation. Donne l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle(s).

x2≤9x^2 \leq 9
Corrigé
  1. x2=9x^2 = 9 pour x=−3x = -3 ou x=3x = 3.
  2. La parabole y=x2y = x^2 est sous la droite y=9y = 9 entre ces deux valeurs.
  3. S=[−3 ; 3]S = \mathopen{[}-3 \,;\, 3\mathclose{]}

Réponsex ∈ [−3 ; 3]\mathopen{[}-3 \,;\, 3\mathclose{]}

2.

Résous cette inéquation. Donne l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle(s).

x2>49x^2 > 49
Corrigé
  1. x2=49x^2 = 49 pour x=−7x = -7 ou x=7x = 7.
  2. La parabole y=x2y = x^2 est au-dessus de la droite y=49y = 49 à l’extérieur de ces deux valeurs.
  3. S=]−∞ ; −7[∪]7 ; +∞[S = \mathopen{]}-\infty \,;\, -7\mathclose{[} \cup \mathopen{]}7 \,;\, +\infty\mathclose{[}

Réponsex ∈ ]−∞ ; −7[∪]7 ; +∞[\mathopen{]}-\infty \,;\, -7\mathclose{[} \cup \mathopen{]}7 \,;\, +\infty\mathclose{[}

3.

Résous cette inéquation. Donne l’ensemble des solutions sous forme d’intervalle(s).

x<2\sqrt{x} < 2
Corrigé
  1. x\sqrt{x} n’existe que pour x≥0x \geq 0, et la fonction racine carrée est croissante.
  2. x=2\sqrt{x} = 2 pour x=4x = 4.
  3. S=[0 ; 4[S = \mathopen{[}0 \,;\, 4\mathclose{[}

Réponsex ∈ [0 ; 4[\mathopen{[}0 \,;\, 4\mathclose{[}

Comparer des images avec le sens de variation

S’entraîner sur ce type

Une fonction croissante conserve l’ordre, une fonction décroissante l’inverse. La fonction carré est décroissante sur ]−∞ ; 0]]-\infty\,;\,0] et croissante sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[.

4.

Compare ces deux images par la fonction cube, sans les calculer.

0,53et6,530{,}5^3 \quad \text{et} \quad 6{,}5^3

A. 0,53<6,530{,}5^3 < 6{,}5^3B. 0,53>6,530{,}5^3 > 6{,}5^3C. 0,53=6,530{,}5^3 = 6{,}5^3D. on ne peut pas conclure\text{on ne peut pas conclure}

Corrigé
  1. 0,5<6,50{,}5 < 6{,}5.
  2. La fonction cube est croissante : elle conserve l’ordre.
  3. Donc 0,53<6,530{,}5^3 < 6{,}5^3.

Réponse 0,53<6,530{,}5^3 < 6{,}5^3

5.

Compare ces deux images par la fonction inverse, sans les calculer.

17,4et11,9\dfrac{1}{7{,}4} \quad \text{et} \quad \dfrac{1}{1{,}9}

A. 17,4<11,9\dfrac{1}{7{,}4} < \dfrac{1}{1{,}9}B. 17,4>11,9\dfrac{1}{7{,}4} > \dfrac{1}{1{,}9}C. 17,4=11,9\dfrac{1}{7{,}4} = \dfrac{1}{1{,}9}D. on ne peut pas conclure\text{on ne peut pas conclure}

Corrigé
  1. 7,4>1,97{,}4 > 1{,}9.
  2. La fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[]0 \,;\, +\infty[ : elle inverse l’ordre.
  3. Donc 17,4<11,9\dfrac{1}{7{,}4} < \dfrac{1}{1{,}9}.

Réponse 17,4<11,9\dfrac{1}{7{,}4} < \dfrac{1}{1{,}9}

6.

Compare ces deux images par la fonction inverse, sans les calculer.

12,1et16,2\dfrac{1}{2{,}1} \quad \text{et} \quad \dfrac{1}{6{,}2}

A. 12,1<16,2\dfrac{1}{2{,}1} < \dfrac{1}{6{,}2}B. 12,1>16,2\dfrac{1}{2{,}1} > \dfrac{1}{6{,}2}C. 12,1=16,2\dfrac{1}{2{,}1} = \dfrac{1}{6{,}2}D. on ne peut pas conclure\text{on ne peut pas conclure}

Corrigé
  1. 2,1<6,22{,}1 < 6{,}2.
  2. La fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[]0 \,;\, +\infty[ : elle inverse l’ordre.
  3. Donc 12,1>16,2\dfrac{1}{2{,}1} > \dfrac{1}{6{,}2}.

Réponse 12,1>16,2\dfrac{1}{2{,}1} > \dfrac{1}{6{,}2}

Ensemble de définition d’une fonction

S’entraîner sur ce type

Un dénominateur ne doit pas s’annuler, l’expression sous une racine carrée doit être positive ou nulle.

7.

Donne l’ensemble de définition de f.

f(x)=x+1f(x) = \sqrt{x + 1}
Corrigé
  1. On ne prend la racine carrée que d’un nombre positif ou nul.
  2. f(x)f(x) existe si et seulement si x+1≥0x + 1 \geq 0, soit x≥−1x \geq -1.
  3. Df=[−1 ; +∞[D_f = \mathopen{[}-1 \,;\, +\infty\mathclose{[}

RéponseDf=D_f = Df=[−1 ; +∞[D_f = \mathopen{[}-1 \,;\, +\infty\mathclose{[}

8.

Donne l’ensemble de définition de f.

f(x)=1x+2f(x) = \dfrac{1}{x + 2}
Corrigé
  1. On ne peut pas diviser par 00.
  2. f(x)f(x) existe si et seulement si x+2≠0x + 2 \neq 0, soit x≠−2x \neq -2.
  3. Df=]−∞ ; −2[∪]−2 ; +∞[D_f = \mathopen{]}-\infty \,;\, -2\mathclose{[} \cup \mathopen{]}-2 \,;\, +\infty\mathclose{[}

RéponseDf=D_f = Df=]−∞ ; −2[∪]−2 ; +∞[D_f = \mathopen{]}-\infty \,;\, -2\mathclose{[} \cup \mathopen{]}-2 \,;\, +\infty\mathclose{[}

9.

Donne l’ensemble de définition de f.

f(x)=x+6f(x) = \sqrt{x + 6}
Corrigé
  1. On ne prend la racine carrée que d’un nombre positif ou nul.
  2. f(x)f(x) existe si et seulement si x+6≥0x + 6 \geq 0, soit x≥−6x \geq -6.
  3. Df=[−6 ; +∞[D_f = \mathopen{[}-6 \,;\, +\infty\mathclose{[}

RéponseDf=D_f = Df=[−6 ; +∞[D_f = \mathopen{[}-6 \,;\, +\infty\mathclose{[}