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Exercices corrigésNiveau : 2NDE

Variations et extremums : exercices corrigés

2 types d’exercices, trois exemples corrigés pour chacun. Tout se fait sans calculatrice. Pour une série sans fin, avec ta maîtrise de la notion, passe par l’exerciseur.

  • 6 exercices
  • corrigés pas à pas
  • sans calculatrice
  • seconde

Lire un tableau de variations

S’entraîner sur ce type

Les flèches montantes indiquent que la fonction croît, les descendantes qu’elle décroît. Le maximum et le minimum se lisent parmi les valeurs aux extrémités des flèches.

1.

Voici le tableau de variations de f sur [−5 ; 5]. Quel est le minimum de f sur cet intervalle ?

x−5−315f(x)0↗4↘−1↗2\begin{array}{c|ccccccc} x & -5 & & -3 & & 1 & & 5 \\ \hline f(x) & 0 & \nearrow & 4 & \searrow & -1 & \nearrow & 2 \end{array}
Corrigé
  1. Le minimum est la plus petite des valeurs aux « sommets » et aux bornes du tableau : 0 ; 4 ; −1 ; 20 \,;\, 4 \,;\, -1 \,;\, 2.
  2. Il vaut −1-1, atteint en x=1x = 1.

Réponsemin = −1-1

2.

Voici le tableau de variations de f. Compare f(a) et f(b).

x−6−302f(x)9↘7↗15↘13a=0,5,  b=1,5\begin{array}{c|ccccccc} x & -6 & & -3 & & 0 & & 2 \\ \hline f(x) & 9 & \searrow & 7 & \nearrow & 15 & \searrow & 13 \end{array} \qquad a = 0{,}5, \; b = 1{,}5

A. f(0,5)<f(1,5)f(0{,}5) < f(1{,}5)B. f(0,5)>f(1,5)f(0{,}5) > f(1{,}5)C. f(0,5)=f(1,5)f(0{,}5) = f(1{,}5)D. on ne peut pas conclure\text{on ne peut pas conclure}

Corrigé
  1. 0,50{,}5 et 1,51{,}5 sont dans [0 ; 2][0 \,;\, 2], où ff est strictement décroissante : elle inverse l’ordre.
  2. 0,5<1,50{,}5 < 1{,}5, donc f(0,5)>f(1,5)f(0{,}5) > f(1{,}5).

Réponse f(0,5)>f(1,5)f(0{,}5) > f(1{,}5)

3.

Voici le tableau de variations de f. Compare f(a) et f(b).

x−4024f(x)−3↗1↘−1↗4a=−3,  b=−1\begin{array}{c|ccccccc} x & -4 & & 0 & & 2 & & 4 \\ \hline f(x) & -3 & \nearrow & 1 & \searrow & -1 & \nearrow & 4 \end{array} \qquad a = -3, \; b = -1

A. f(−3)<f(−1)f(-3) < f(-1)B. f(−3)>f(−1)f(-3) > f(-1)C. f(−3)=f(−1)f(-3) = f(-1)D. on ne peut pas conclure\text{on ne peut pas conclure}

Corrigé
  1. −3-3 et −1-1 sont dans [−4 ; 0][-4 \,;\, 0], où ff est strictement croissante : elle conserve l’ordre.
  2. −3<−1-3 < -1, donc f(−3)<f(−1)f(-3) < f(-1).

Réponse f(−3)<f(−1)f(-3) < f(-1)

Maximum et minimum d’une fonction de référence

S’entraîner sur ce type

On utilise le sens de variation : carré décroissante puis croissante (minimum 00 en 00), inverse décroissante de chaque côté de 00, racine carrée et cube croissantes. Les extremums sont aux bornes, ou en 00 pour le carré.

4.

Quel est le minimum de la fonction f sur l’intervalle [3 ; 9] ?

f(x)=x2f(x) = x^2
Corrigé
  1. La fonction carré est décroissante sur ]−∞ ; 0]]-\infty \,;\, 0] et croissante sur [0 ; +∞[[0 \,;\, +\infty[.
  2. Sur [3 ; 9][3 \,;\, 9], ff est croissante : le minimum est atteint en 33.
  3. min⁡f=9\min f = 9

Réponsemin = 99

5.

Quel est le minimum de la fonction f sur l’intervalle [−4 ; 3] ?

f(x)=x2f(x) = x^2
Corrigé
  1. La fonction carré est décroissante sur ]−∞ ; 0]]-\infty \,;\, 0] et croissante sur [0 ; +∞[[0 \,;\, +\infty[.
  2. Sur [−4 ; 3][-4 \,;\, 3], le minimum est f(0)=0f(0) = 0 ; le maximum est le plus grand de f(−4)=16f(-4) = 16 et f(3)=9f(3) = 9.
  3. min⁡f=0\min f = 0

Réponsemin = 00

6.

Quel est le maximum de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 8] ?

f(x)=x2f(x) = x^2
Corrigé
  1. La fonction carré est décroissante sur ]−∞ ; 0]]-\infty \,;\, 0] et croissante sur [0 ; +∞[[0 \,;\, +\infty[.
  2. Sur [2 ; 8][2 \,;\, 8], ff est croissante : le maximum est atteint en 88.
  3. max⁡f=64\max f = 64

Réponsemax = 6464