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FicheNiveau : 2NDE · 1RE

Puissances et puissances de 10

Les règles de calcul sur les puissances, les exposants négatifs et l’écriture scientifique.

L’essentiel

Pour tout nombre aa non nul et tous entiers mm et nn :

am×an=am+naman=am−n(am)n=am×na^m \times a^n = a^{m+n} \qquad \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (a^m)^n = a^{m \times n}a0=1a−n=1ana^0 = 1 \qquad a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}

Pour les puissances de 10 : 103=1 00010^3 = 1\,000, 10−2=0,0110^{-2} = 0{,}01.

L’écriture scientifique d’un nombre est a×10na \times 10^n avec 1≤a<101 \leq a < 10 : 45 000=4,5×10445\,000 = 4{,}5 \times 10^4 et 0,003 2=3,2×10−30{,}003\,2 = 3{,}2 \times 10^{-3}.

Exemples corrigés

25×23=28=2563734=33=27(52)3=562^5 \times 2^3 = 2^8 = \boxed{256} \qquad \dfrac{3^7}{3^4} = 3^3 = \boxed{27} \qquad (5^2)^3 = \boxed{5^6} 104×10−1102=104−1−2=101=10\dfrac{10^4 \times 10^{-1}}{10^{2}} = 10^{4 - 1 - 2} = 10^{1} = \boxed{10}

Puissances de même baseS’entraîner

Simplifier un calcul avec des puissances de 10S’entraîner

Les pièges

  • Les exposants s’ajoutent dans un produit, ils ne se multiplient pas : 23×24=272^3 \times 2^4 = 2^7, pas 2122^{12}.
  • Les règles ne valent que pour une même base : 23×33=632^3 \times 3^3 = 6^3, mais 23×342^3 \times 3^4 ne se simplifie pas ainsi.
  • (−3)2=9(-3)^2 = 9, mais −32=−9-3^2 = -9.
  • Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : 2−3=182^{-3} = \dfrac{1}{8}.