FicheNiveau : 1RE SPÉ

Indépendance de deux événements et probabilités totales

Reconnaître et utiliser deux événements indépendants, et calculer une probabilité avec la formule des probabilités totales.

L’essentiel

Deux événements $A$ et $B$ (de probabilités non nulles) sont indépendants quand :

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

C’est équivalent à $P_A(B) = P(B)$ : savoir que $A$ est réalisé ne change pas la probabilité de $B$ .

Probabilités totales : si $A_1, A_2, \ldots, A_n$ forment une partition de l’univers (ils sont deux à deux incompatibles et leur réunion est l’univers entier), alors :

P(B) = P(A_1) \times P_{A_1}(B) + P(A_2) \times P_{A_2}(B) + \cdots + P(A_n) \times P_{A_n}(B)

Sur un arbre, c’est la somme des chemins qui mènent à $B$ .

La méthode

Pour vérifier une indépendance, calcule $P(A) \times P(B)$ et compare avec $P(A \cap B)$ .
Pour utiliser une indépendance, remplace $P(A \cap B)$ par $P(A) \times P(B)$ .
Pour $P(A \cup B)$ , utilise $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .
Pour les probabilités totales, multiplie le long de chaque branche qui mène à $B$ , puis additionne.

Exemple corrigé

$A$ et $B$ sont indépendants, avec $P(A) = 0{,}3$ et $P(B) = 0{,}6$ .

P(A \cap B) = 0{,}3 \times 0{,}6 = \boxed{0{,}18} \qquad P(A \cup B) = 0{,}3 + 0{,}6 - 0{,}18 = \boxed{0{,}72}

Une usine a trois machines, qui produisent $50\,\%$ , $30\,\%$ et $20\,\%$ des pièces, avec des taux de défaut de $0{,}02$ , $0{,}04$ et $0{,}05$ . Probabilité qu’une pièce soit défectueuse :

P(D) = 0{,}5 \times 0{,}02 + 0{,}3 \times 0{,}04 + 0{,}2 \times 0{,}05 = 0{,}01 + 0{,}012 + 0{,}01 = \boxed{0{,}032}

Indépendance et probabilités totalesS’entraîner

Les pièges

Indépendants et incompatibles, ce n’est pas la même chose : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants, car $P(A \cap B) = 0$ .
La formule des probabilités totales exige une partition : les $A_i$ ne doivent pas se chevaucher et doivent tout couvrir.