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Exercices corrigésNiveau : 1RE SPÉ

Indépendance et probabilités totales : exercices corrigés

2 types d’exercices, trois exemples corrigés pour chacun. Tout se fait sans calculatrice. Pour une série sans fin, avec ta maîtrise de la notion, passe par l’exerciseur.

  • 6 exercices
  • corrigés pas à pas
  • sans calculatrice
  • 1re spécialité

Indépendance et probabilités totales

S’entraîner sur ce type

A et B sont indépendants si et seulement si P(A∩B)=P(A)×P(B)P(A \cap B) = P(A) \times P(B). Avec une partition A1,A2,A3A_1, A_2, A_3, P(B)P(B) est la somme des P(Ai∩B)P(A_i \cap B).

1.

A et B sont indépendants. Calcule P(B).

P(A)=0,4P(A∩B)=0,36P(A) = 0{,}4 \qquad P(A \cap B) = 0{,}36
Corrigé
  1. P(A∩B)=P(A)×P(B)doncP(B)=0,360,4=0,9P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \quad\text{donc}\quad P(B) = \dfrac{0{,}36}{0{,}4} = 0{,}9

RéponseP(B) = 0,90{,}9

2.

A et B sont indépendants. Calcule P(A ∪ B).

P(A)=0,4P(B)=0,8P(A) = 0{,}4 \qquad P(B) = 0{,}8
Corrigé
  1. P(A∩B)=0,4×0,8=0,32P(A \cap B) = 0{,}4 \times 0{,}8 = 0{,}32
  2. P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)=0,4+0,8−0,32=0,88P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}4 + 0{,}8 - 0{,}32 = 0{,}88

RéponseP(A ∪ B) = 0,880{,}88

3.

A et B sont indépendants. Calcule P(B).

P(A)=0,2P(A∩B)=0,12P(A) = 0{,}2 \qquad P(A \cap B) = 0{,}12
Corrigé
  1. P(A∩B)=P(A)×P(B)doncP(B)=0,120,2=0,6P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \quad\text{donc}\quad P(B) = \dfrac{0{,}12}{0{,}2} = 0{,}6

RéponseP(B) = 0,60{,}6

Calculer avec des événements indépendants

S’entraîner sur ce type

Si AA et BB sont indépendants, P(A∩B)=P(A)P(B)P(A \cap B) = P(A)P(B), et AA et Bˉ\bar{B} le sont aussi. Pour des épreuves indépendantes, on multiplie les probabilités le long d’un chemin et on additionne les chemins ; « au moins un » se calcule par le contraire.

4.

Un joueur tire deux fois au but ; il marque avec la probabilité 0,4, et les deux tirs sont indépendants. Quelle est la probabilité qu’il marque exactement une fois ?

p=0,4p = 0{,}4
Corrigé
  1. Deux chemins : marquer puis rater, ou rater puis marquer.
  2. P=0,4×0,6+0,6×0,4=0,48P = 0{,}4 \times 0{,}6 + 0{,}6 \times 0{,}4 = 0{,}48

RéponseP = 0,480{,}48

5.

A et B sont indépendants. Calcule P(A ∩ B̄).

P(A)=0,5P(B)=0,7P(A) = 0{,}5 \qquad P(B) = 0{,}7
Corrigé
  1. Si AA et BB sont indépendants, AA et Bˉ\bar{B} le sont aussi.
  2. P(A∩Bˉ)=P(A)×P(Bˉ)=0,5×0,3=0,15P(A \cap \bar{B}) = P(A) \times P(\bar{B}) = 0{,}5 \times 0{,}3 = 0{,}15

RéponseP(A ∩ B̄) = 0,150{,}15

6.

A et B sont indépendants. Calcule P(A ∩ B̄).

P(A)=0,2P(B)=0,4P(A) = 0{,}2 \qquad P(B) = 0{,}4
Corrigé
  1. Si AA et BB sont indépendants, AA et Bˉ\bar{B} le sont aussi.
  2. P(A∩Bˉ)=P(A)×P(Bˉ)=0,2×0,6=0,12P(A \cap \bar{B}) = P(A) \times P(\bar{B}) = 0{,}2 \times 0{,}6 = 0{,}12

RéponseP(A ∩ B̄) = 0,120{,}12