FicheNiveau : 2NDE

Droites du plan : vecteur directeur et intersection

Trouver un vecteur directeur à partir d’une équation cartésienne, passer à l’équation réduite, reconnaître des droites parallèles et calculer une intersection.

L’essentiel

Un vecteur directeur d’une droite $d$ est un vecteur non nul $\overrightarrow{AB}$ , où $A$ et $B$ sont deux points distincts de $d$ . Tout vecteur non nul colinéaire à un vecteur directeur en est aussi un.

Toute droite a une équation cartésienne de la forme

ax + by + c = 0 \qquad \text{avec } (a \,;\, b) \neq (0 \,;\, 0)

La droite d’équation $ax + by + c = 0$ a pour vecteur directeur $\vec{u}\,(-b \,;\, a)$ .

Une droite a une infinité d’équations cartésiennes : on peut tout multiplier par un même réel non nul.

Si $b \neq 0$ , on isole $y$ et on obtient l’équation réduite $y = mx + p$ . Le nombre $m$ est la pente (ou coefficient directeur), et $\vec{u}\,(1 \,;\, m)$ est un vecteur directeur.
Si $b = 0$ , la droite est parallèle à l’axe des ordonnées : son équation réduite est du type $x = k$ .

Pour lire une équation réduite ou calculer une pente à partir de deux points, voir la fiche sur les équations de droites.

Trouver une équation cartésienne

Avec un point $A$ et un vecteur directeur $\vec{u}$ : le point $M(x \,;\, y)$ est sur la droite si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires, c’est-à-dire $\det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = 0$ .

Parallèles ou sécantes

Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Avec des équations réduites : même pente.
Sinon, elles sont sécantes : elles se coupent en un seul point.
Intersection de $y = mx + p$ et $y = m'x + p'$ (avec $m \neq m'$ ) : on résout $mx + p = m'x + p'$ , puis on calcule $y$ dans l’une des deux équations.

Exemples corrigés

La droite $d : 2x - 3y + 5 = 0$ a $a = 2$ et $b = -3$ , donc pour vecteur directeur $\vec{u}\,(3 \,;\, 2)$ . Son équation réduite :

-3y = -2x - 5 \iff \boxed{y = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{5}{3}}

La pente vaut $\dfrac{2}{3}$ , ce que confirme $\vec{u}\,(3 \,;\, 2)$ : on monte de $2$ quand on avance de $3$ .

Vecteur directeur d’une droiteS’entraîner

Droite passant par $A(1 \,;\, -2)$ de vecteur directeur $\vec{u}\,(3 \,;\, 1)$ : $\overrightarrow{AM}\,(x - 1 \,;\, y + 2)$ et

\det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}) = (x - 1) \times 1 - (y + 2) \times 3 = x - 3y - 7

Une équation cartésienne est donc $\boxed{x - 3y - 7 = 0}$ . Vérification avec $A$ : $1 + 6 - 7 = 0$ .

Intersection de $d_1 : y = 2x - 1$ et $d_2 : y = -x + 5$ (pentes $2$ et $-1$ différentes, donc sécantes) :

2x - 1 = -x + 5 \iff 3x = 6 \iff x = 2

Puis $y = 2 \times 2 - 1 = 3$ : les droites se coupent en $\boxed{M(2 \,;\, 3)}$ . Vérification dans $d_2$ : $-2 + 5 = 3$ .

Point d’intersection de deux droitesS’entraîner

Les pièges

Le vecteur directeur de $ax + by + c = 0$ est $(-b \,;\, a)$ , pas $(a \,;\, b)$ . Attention au signe de $-b$ : avec $b = -3$ , on obtient $3$ .
La pente se lit dans l’équation réduite : dans $2x - 3y + 5 = 0$ , elle ne vaut ni $2$ ni $-3$ , mais $\dfrac{2}{3}$ .
Une droite parallèle à l’axe des ordonnées n’a pas de pente : son équation réduite $x = k$ ne contient pas $y$ .
Pour l’intersection, ne pas s’arrêter à $x$ : calculer aussi $y$ , et vérifier dans l’autre équation.