Rédiger en maths au lycée : justifier, citer un théorème, rédiger une récurrence

Ce que le correcteur attend à l’épreuve anticipée et en spécialité : 2 points de rédaction, des hypothèses vérifiées, une conclusion. Modèles de rédaction.

À partir de 2027, la rédaction compte explicitement dans les deux épreuves écrites de mathématiques du lycée : 2 points sur 20 à l’épreuve anticipée de première comme à l’épreuve de spécialité de terminale. Mais bien rédiger rapporte bien plus que ces 2 points : une justification complète est ce qui distingue une réponse juste d’une réponse notée juste.

Ce qui est évalué

Le schéma d’une justification

1. Nommer le résultat utilisé : théorème, propriété, définition, formule.
2. Vérifier ses hypothèses, une par une : c’est ce que le correcteur cherche en premier.
3. Faire le calcul, posé ligne par ligne.
4. Conclure par une phrase qui répond à la question, avec les mots de l’énoncé.

Modèles de rédaction

Une récurrence

On considère la suite définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 1$. Montrons que pour tout entier naturel $n$, $u_n \leq 2$.

Initialisation : $u_0 = 0$ et $0 \leq 2$, donc la propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité : soit $n$ un entier naturel tel que $u_n \leq 2$. Alors $0{,}5\,u_n \leq 1$, donc $0{,}5\,u_n + 1 \leq 2$, c’est-à-dire $u_{n+1} \leq 2$. La propriété est vraie au rang $n + 1$.

Conclusion : la propriété est vraie au rang $0$ et héréditaire, donc pour tout entier naturel $n$, $u_n \leq 2$.

Une équation $f(x) = k$ à solution unique

« La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[1 \,;\, 2]$, avec $f(1) = -2$ et $f(2) = 7$. Comme $0$ est compris entre $-2$ et $7$, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[1 \,;\, 2]$. »

Les trois hypothèses (continuité, stricte monotonie, valeur comprise) sont citées : il n’en manque aucune.

Une loi binomiale

« On répète $5$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve à deux issues : succès « obtenir pile », de probabilité $p = 0{,}5$. La variable $X$ qui compte les succès suit donc la loi binomiale de paramètres $n = 5$ et $p = 0{,}5$. »

Justifier le modèle avant de calculer, c’est souvent la moitié des points de la question.

Un sens de variation

« Pour tout réel $x$, $f'(x) = 3(x + 1)(x - 3)$. Le trinôme $f'(x)$, de coefficient dominant $3 > 0$, est positif à l’extérieur de ses racines $-1$ et $3$, négatif entre. Donc $f$ est croissante sur $\mathopen{]}-\infty \,;\, -1]$, décroissante sur $[-1 \,;\, 3]$ et croissante sur $[3 \,;\, +\infty\mathclose{[}$. »

Le signe de la dérivée est justifié, pas seulement affirmé : c’est lui qui donne les variations.

Un vrai ou faux

Une affirmation vraie se démontre ; une affirmation fausse se réfute par un contre-exemple précis, chiffré. « L’affirmation est fausse : pour $x = -1$, on a $x^2 = 1$ mais $x \neq 1$. » Un « faux » sans contre-exemple ne rapporte rien.

Les mots de la démonstration

Les points qui se perdent bêtement

• Une conclusion absente : le calcul est juste, mais la question n’a pas de réponse écrite.
• Une valeur approchée non demandée, ou un arrondi qui ne respecte pas la consigne (« à $10^{-2}$ près »).
• Un résultat de l’énoncé redémontré alors qu’il était donné : utilisez-le directement, même si vous n’avez pas réussi la question précédente.
• Une copie illisible : ratures, flèches, calculs dans tous les sens. Mieux vaut barrer proprement et recommencer.

S’entraîner

Les corrigés des annales sont rédigés comme on l’attend d’une copie : comparez-les à votre rédaction, question par question.

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