FicheNiveau : TLE SPÉ

Raisonnement par récurrence

Rédiger une démonstration par récurrence : initialisation, hérédité, conclusion, avec des exemples sur les suites et les inégalités.

L’essentiel

Pour démontrer qu’une propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$ :

Initialisation : on vérifie que $P(n_0)$ est vraie.
Hérédité : on suppose que $P(n)$ est vraie pour un entier $n \geq n_0$ fixé (c’est l’hypothèse de récurrence), et on démontre que $P(n + 1)$ est vraie.
Conclusion : par récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ .

C’est l’image des dominos : le premier tombe, et chacun fait tomber le suivant.

La méthode

Écris clairement la propriété $P(n)$ .
Pour l’hérédité, pars de $u_{n+1}$ (ou de ce que tu dois prouver au rang $n + 1$ ), fais apparaître $u_n$ , puis utilise l’hypothèse de récurrence.
Pour une inégalité, applique à l’hypothèse des opérations qui conservent l’ordre (fonction croissante, multiplication par un positif).

On utilise la récurrence pour : une formule explicite d’une suite, un encadrement ( $0 \leq u_n \leq 2$ ), la monotonie ( $u_n \leq u_{n+1}$ ), une inégalité comme celle de Bernoulli.

Exemple corrigé

$u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 3u_n - 2$ . Montrons que $u_n = 3^n + 1$ pour tout $n \geq 0$ .

Initialisation : $3^0 + 1 = 2 = u_0$ .

Hérédité : supposons $u_n = 3^n + 1$ pour un entier $n$ . Alors :

u_{n+1} = 3u_n - 2 = 3(3^n + 1) - 2 = 3^{n+1} + 1

Conclusion : pour tout $n \geq 0$ , $\boxed{u_n = 3^n + 1}$ .

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Les pièges

Ne pas confondre l’hypothèse de récurrence (vraie pour un $n$ fixé) avec ce qu’on veut démontrer (vrai pour tout $n$ ).
L’initialisation est indispensable : sans elle, l’hérédité seule ne prouve rien.
Vérifier quelques termes ne démontre rien : cela sert seulement à conjecturer.