Exercices corrigésNiveau : TLE SPÉ

Raisonnement par récurrence : exercices corrigés

2 types d’exercices, trois exemples corrigés pour chacun. Tout se fait sans calculatrice. Pour une série sans fin, avec ta maîtrise de la notion, passe par l’exerciseur.

6 exercices
corrigés pas à pas
sans calculatrice
terminale

Raisonnement par récurrence

S’entraîner sur ce type

Initialisation : la propriété est vraie au premier rang. Hérédité : si elle est vraie au rang $n$ , elle l’est au rang $n + 1$ . On peut conjecturer la formule sur les premiers termes.

Calcule les premiers termes, conjecture une formule explicite (on admet qu’elle se démontre par récurrence), puis calcule u₅.

u_0 = 2 \qquad u_{n+1} = u_n + 3n^2 + 3n + 1

Corrigé

$u_0 = 2$ , $u_1 = 3$ , $u_2 = 10$ , $u_3 = 29$ : on conjecture $u_n = n^3 + 2$ .
Hérédité : si $u_n = n^3 + 2$ , alors $u_{n+1} = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 2 = (n + 1)^3 + 2$ .
$u_{5} = 127$

Réponseu₅ = $127$

Dans une démonstration par récurrence, l’étape d’hérédité consiste à montrer que :

\text{Hérédité}

A. $P(n + 1)$ est vraie pour tout entier $n$ B. si $P(n)$ est vraie pour un entier $n$ , alors $P(n + 1)$ est vraieC. $P(0)$ est vraieD. si $P(n + 1)$ est vraie, alors $P(n)$ est vraie

Corrigé

Initialisation : on vérifie $P(n_0)$ pour le premier rang.
Hérédité : on suppose $P(n)$ vraie pour un entier $n$ fixé, et on en déduit $P(n + 1)$ .

Réponse si $P(n)$ est vraie pour un entier $n$ , alors $P(n + 1)$ est vraie

Calcule les premiers termes, conjecture une formule explicite (on admet qu’elle se démontre par récurrence), puis calcule u₁₀.

u_0 = 0 \qquad u_{n+1} = u_n + n + 1

Corrigé

$u_0 = 0$ , $u_1 = 1$ , $u_2 = 3$ , $u_3 = 6$ : on conjecture $u_n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$ .
Hérédité : si $u_n = \dfrac{n(n + 1)}{2}$ , alors $u_{n+1} = \dfrac{n(n + 1)}{2} + n + 1 = \dfrac{(n + 1)(n + 2)}{2}$ .
$u_{10} = 55$

Réponseu₁₀ = $55$

Rang à partir duquel une inégalité est vraie

S’entraîner sur ce type

On teste l’inégalité pour les premiers entiers : l’initialisation se fait au premier rang à partir duquel elle reste vraie, et l’hérédité se démontre à partir de ce rang.

On démontre par récurrence que cette inégalité est vraie pour tout entier n ≥ n₀. Quel est le plus petit n₀ possible ?

2^n > n^3

Corrigé

Initialisation : en $n = 10$ , $2^{10} = 1024$ et $10^3 = 1000$ , l’inégalité est vraie.
En $n = 9$ : $2^{9} = 512$ et $9^3 = 729$ , elle est fausse. L’hérédité se démontre pour $n \geq 10$ .

Réponsen₀ = $10$

On démontre par récurrence que cette inégalité est vraie pour tout entier n ≥ n₀. Quel est le plus petit n₀ possible ?

n! > 2^n

Corrigé

Initialisation : en $n = 4$ , $4! = 24$ et $2^{4} = 16$ , l’inégalité est vraie.
En $n = 3$ : $3! = 6$ et $2^{3} = 8$ , elle est fausse. L’hérédité se démontre pour $n \geq 4$ .

Réponsen₀ = $4$

On démontre par récurrence que cette inégalité est vraie pour tout entier n ≥ n₀. Quel est le plus petit n₀ possible ?

2^n > 2n + 1

Corrigé

Initialisation : en $n = 3$ , $2^{3} = 8$ et $2 \times 3 + 1 = 7$ , l’inégalité est vraie.
En $n = 2$ : $2^{2} = 4$ et $2 \times 2 + 1 = 5$ , elle est fausse. L’hérédité se démontre pour $n \geq 3$ .

Réponsen₀ = $3$