FicheNiveau : 1RE SPÉ

Variables aléatoires, espérance et répétition d’épreuves

Loi d’une variable aléatoire, espérance, variance, et probabilités lors de la répétition d’épreuves de Bernoulli indépendantes.

L’essentiel

Une variable aléatoire $X$ associe un nombre à chaque issue d’une expérience (un gain, un nombre de succès…). Sa loi donne les valeurs $x_i$ et leurs probabilités $p_i$ , dont la somme vaut $1$ .

Espérance (la moyenne à long terme) :

E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_k p_k

Variance et écart type :

V(X) = E\left((X - E(X))^2\right) = E(X^2) - E(X)^2 \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)}

Linéarité : $E(aX + b) = aE(X) + b$ .

Répétition d’épreuves indépendantes : on multiplie les probabilités le long d’un chemin de l’arbre, puis on additionne les chemins qui conviennent.

La méthode

Dresse la loi dans un tableau, et vérifie que la somme des probabilités vaut $1$ .
Pour l’espérance, multiplie chaque valeur par sa probabilité, puis additionne.
Pour « au moins un succès », passe par le contraire : $P = 1 - P(\text{aucun succès})$ .

Exemple corrigé

Un jeu coûte $2$ €. On gagne $10$ € avec une probabilité de $0{,}1$ , $3$ € avec $0{,}2$ , rien sinon. $X$ est le gain net.

Gain net (€)	Probabilité
$8$	$0{,}1$
$1$	$0{,}2$
$-2$	$0{,}7$

E(X) = 8 \times 0{,}1 + 1 \times 0{,}2 + (-2) \times 0{,}7 = 0{,}8 + 0{,}2 - 1{,}4 = \boxed{-0{,}4}

En moyenne, le joueur perd $0{,}40$ € par partie : le jeu est défavorable.

Loi d’une variable aléatoire et espéranceS’entraîner

On joue $3$ fois, de façon indépendante. Probabilité de gagner au moins une fois $10$ € :

P = 1 - 0{,}9^3 = 1 - 0{,}729 = \boxed{0{,}271}

Répétition d’épreuves indépendantesS’entraîner

Les pièges

Le gain net tient compte de la mise : gagner $10$ € après avoir payé $2$ € donne $8$ €.
$E(X)$ n’est pas forcément une valeur que $X$ peut prendre.
$P(\text{au moins un succès}) \neq 3 \times 0{,}1$ : on ne peut pas additionner des événements qui ne s’excluent pas.