Exercices corrigésNiveau : 1RE SPÉ

Variables aléatoires et répétition : exercices corrigés

3 types d’exercices, trois exemples corrigés pour chacun. Tout se fait sans calculatrice. Pour une série sans fin, avec ta maîtrise de la notion, passe par l’exerciseur.

9 exercices
corrigés pas à pas
sans calculatrice
1re spécialité

Loi d’une variable aléatoire et espérance

S’entraîner sur ce type

Les probabilités de la loi ont pour somme 1. $E(X) = \sum x_i\,P(X = x_i)$ : on multiplie chaque valeur par sa probabilité et on additionne.

Voici la loi de la variable aléatoire X. Calcule p.

\begin{array}{c|ccc} x_i & 1 & 2 & 13 \\ \hline P(X = x_i) & 0{,}4 & 0{,}3 & p \end{array}

Corrigé

La somme des probabilités vaut 1 : $p = 1 - 0{,}4 - 0{,}3 = 0{,}3$ .

Réponsep = $0{,}3$

Voici la loi de la variable aléatoire X. Calcule son espérance.

\begin{array}{c|cccc} x_i & 6 & 11 & 19 & 20 \\ \hline P(X = x_i) & 0{,}3 & 0{,}3 & 0{,}3 & 0{,}1 \end{array}

Corrigé

$E(X) = 6 \times 0{,}3 + 11 \times 0{,}3 + 19 \times 0{,}3 + 20 \times 0{,}1$
$E(X) = 12{,}8$

RéponseE(X) = $12{,}8$

Voici la loi de la variable aléatoire X. Calcule son espérance.

\begin{array}{c|cccc} x_i & -3 & 2 & 3 & 20 \\ \hline P(X = x_i) & 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}2 & 0{,}3 \end{array}

Corrigé

$E(X) = (-3) \times 0{,}2 + 2 \times 0{,}3 + 3 \times 0{,}2 + 20 \times 0{,}3$
$E(X) = 6{,}6$

RéponseE(X) = $6{,}6$

Répétition d’épreuves indépendantes

S’entraîner sur ce type

On multiplie les probabilités le long d’un chemin de l’arbre. « Au moins un succès » se calcule par le contraire : $1 - P(\text{aucun succès})$ .

On répète 2 fois, de façon indépendante, une épreuve dont la probabilité de succès est 0,3. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement un succès ?

n = 2 \qquad p = 0{,}3

Corrigé

Deux chemins : succès puis échec, ou échec puis succès.
$P = 0{,}3 \times 0{,}7 + 0{,}7 \times 0{,}3 = 0{,}42$

RéponseP = $0{,}42$

On répète 2 fois, de façon indépendante, une épreuve dont la probabilité de succès est 0,8. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un succès ?

n = 2 \qquad p = 0{,}8

Corrigé

Contraire : aucun succès, de probabilité $0{,}2^2 = 0{,}04$ .
$P = 1 - 0{,}04 = 0{,}96$

RéponseP = $0{,}96$

On répète 3 fois, de façon indépendante, une épreuve dont la probabilité de succès est 0,2. Quelle est la probabilité d’obtenir 3 succès ?

n = 3 \qquad p = 0{,}2

Corrigé

Un seul chemin de l’arbre : $S\,S\,S$ .
$P = 0{,}2^3 = 0{,}008$

RéponseP = $0{,}008$

Variance et écart type d’une variable aléatoire

S’entraîner sur ce type

$V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ et $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ .

Voici la loi de X. Calcule sa variance V(X).

\begin{array}{c|cc} x_i & 2 & 4 \\ \hline P(X = x_i) & 0{,}8 & 0{,}2 \end{array}

Corrigé

$E(X) = 2 \times 0{,}8 + 4 \times 0{,}2 = 2{,}4$
$E(X^2) = 2^2 \times 0{,}8 + 4^2 \times 0{,}2 = 6{,}4$
$V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 6{,}4 - 2{,}4^2 = 0{,}64$

RéponseV(X) = $0{,}64$

X prend les valeurs ci-dessous avec la même probabilité. Calcule son écart type σ(X).

\begin{array}{c|cc} x_i & 3 & 11 \\ \hline P(X = x_i) & 0{,}5 & 0{,}5 \end{array}

Corrigé

$E(X) = 7$ , et chaque valeur est à $4$ de l’espérance.
$V(X) = 0{,}5 \times 4^2 + 0{,}5 \times 4^2 = 16 \quad\text{donc}\quad \sigma(X) = \sqrt{16} = 4$

Réponseσ(X) = $4$

Voici la loi de X. Calcule sa variance V(X).

\begin{array}{c|cc} x_i & 0 & 3 \\ \hline P(X = x_i) & 0{,}7 & 0{,}3 \end{array}

Corrigé

$E(X) = 0 \times 0{,}7 + 3 \times 0{,}3 = 0{,}9$
$E(X^2) = 0^2 \times 0{,}7 + 3^2 \times 0{,}3 = 2{,}7$
$V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 2{,}7 - 0{,}9^2 = 1{,}89$

RéponseV(X) = $1{,}89$