FicheNiveau : 2NDE

Séries regroupées en classes : moyenne et classe médiane

Centre d’une classe, moyenne estimée, effectifs cumulés, classe médiane et estimation de la médiane, histogramme.

L’essentiel

Quand une série prend beaucoup de valeurs (des durées, des tailles…), on la regroupe en classes de même amplitude, comme $[10 \,;\, 20\mathclose{[}$ : les valeurs $x$ telles que $10 \leq x < 20$ . L’amplitude est l’écart entre les bornes, ici $10$ .

Le centre d’une classe $[a \,;\, b\mathclose{[}$ est $\dfrac{a + b}{2}$ : le centre de $[10 \,;\, 20\mathclose{[}$ est $15$ .
La moyenne est une moyenne pondérée par les effectifs. Si on connaît la moyenne des valeurs de chaque classe, on l’utilise. Sinon, on suppose les valeurs réparties uniformément dans chaque classe et on remplace chaque classe par son centre : on obtient une estimation de la moyenne.
Les effectifs cumulés comptent les valeurs de la première classe jusqu’à la classe en cours.
La classe médiane est la première classe où l’effectif cumulé dépasse la moitié de l’effectif total.

Histogramme : chaque classe est représentée par un rectangle posé sur l’axe horizontal, de largeur l’amplitude, les rectangles étant accolés. Les classes ayant la même amplitude, la hauteur de chaque rectangle est proportionnelle à son effectif. Le polygone des fréquences cumulées part du point d’abscisse la borne inférieure de la première classe et d’ordonnée $0$ , puis relie les points ayant pour abscisse la borne supérieure d’une classe et pour ordonnée la fréquence cumulée.

La méthode

Moyenne estimée : multiplier chaque centre par l’effectif de sa classe, additionner, puis diviser par l’effectif total.

\bar{x} \approx \dfrac{c_1 n_1 + c_2 n_2 + \dots + c_k n_k}{N}

Classe médiane : calculer les effectifs cumulés, puis repérer la classe où l’on dépasse $\dfrac{N}{2}$ .

Estimer la médiane : si les valeurs sont réparties uniformément dans la classe médiane $[a \,;\, b\mathclose{[}$ , d’effectif $n$ , et si $C$ valeurs sont avant cette classe, on avance proportionnellement :

\text{médiane} \approx a + \dfrac{N/2 - C}{n} \times (b - a)

Exemples corrigés

Temps de trajet de $20$ élèves, en minutes :

Classe	$[0 \,;\, 10\mathclose{[}$	$[10 \,;\, 20\mathclose{[}$	$[20 \,;\, 30\mathclose{[}$	$[30 \,;\, 40\mathclose{[}$
Effectif	$3$	$8$	$6$	$3$
Effectif cumulé	$3$	$11$	$17$	$20$

Moyenne : les centres sont $5$ , $15$ , $25$ et $35$ .

\bar{x} \approx \dfrac{5 \times 3 + 15 \times 8 + 25 \times 6 + 35 \times 3}{20} = \dfrac{15 + 120 + 150 + 105}{20} = \dfrac{390}{20} = \boxed{19{,}5}

Classe médiane : $N = 20$ , la moitié est $10$ . Le cumul vaut $3$ après la première classe et $11$ après la deuxième : on dépasse $10$ dans $\boxed{[10 \,;\, 20[}$ .

Médiane estimée : $3$ valeurs avant la classe, il en faut encore $10 - 3 = 7$ parmi les $8$ de la classe. On avance des $\dfrac{7}{8}$ de l’amplitude : $10 + \dfrac{7}{8} \times 10 = 10 + 8{,}75 = \boxed{18{,}75}$ minutes.

Avec les moyennes de chaque classe : $4$ valeurs de moyenne $6$ et $6$ valeurs de moyenne $16$ donnent $\bar{x} = \dfrac{4 \times 6 + 6 \times 16}{10} = \dfrac{24 + 96}{10} = \boxed{12}$ , cette fois sans approximation.

Série regroupée en classes : moyenne et classe médianeS’entraîner

Les pièges

Le centre de $[10 \,;\, 20\mathclose{[}$ est $15$ , pas $10$ ni $20$ .
Diviser par l’effectif total ( $20$ ), pas par le nombre de classes ( $4$ ).
La classe médiane n’est pas la classe du milieu du tableau, ni celle du plus grand effectif : on la trouve avec les effectifs cumulés.
La moyenne calculée avec les centres n’est qu’une estimation : on écrit $\bar{x} \approx 19{,}5$ .