FicheNiveau : TLE SPÉ

Sommes de variables aléatoires : espérance et variance

Linéarité de l’espérance, variance de aX + b, additivité de la variance pour des variables indépendantes, échantillons.

L’essentiel

Pour des variables aléatoires $X$ et $Y$ et des réels $a$ et $b$ :

E(X + Y) = E(X) + E(Y) \qquad E(aX + b) = aE(X) + b \qquad V(aX + b) = a^2V(X)

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes :

V(X + Y) = V(X) + V(Y)

Échantillon de taille $n$ : $X_1, \ldots, X_n$ indépendantes, de même loi (espérance $\mu$ , variance $V$ ). Pour la somme $S_n$ et la moyenne $M_n = \dfrac{S_n}{n}$ :

E(S_n) = n\mu \qquad V(S_n) = nV \qquad E(M_n) = \mu \qquad V(M_n) = \dfrac{V}{n}

Application : une loi binomiale $\mathcal{B}(n \,;\, p)$ est la somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes, d’où $E = np$ et $V = np(1 - p)$ .

La méthode

Écris la variable étudiée comme une somme ou une transformation affine de variables simples.
Pour l’espérance, la linéarité marche toujours.
Pour la variance d’une somme, vérifie l’indépendance.

Exemple corrigé

Le gain d’un joueur est $G = 3X - 5$ , où $E(X) = 4$ et $V(X) = 2$ .

E(G) = 3 \times 4 - 5 = \boxed{7} \qquad V(G) = 3^2 \times 2 = \boxed{18}

On répète $25$ fois, de façon indépendante, une expérience d’écart type $2$ . L’écart type de la somme vaut $\sqrt{25 \times 2^2} = \boxed{10}$ , celui de la moyenne $\dfrac{2}{\sqrt{25}} = \boxed{0{,}4}$ .

Espérance et variance d’une sommeS’entraîner

Les pièges

$V(aX + b) = a^2V(X)$ : la constante $b$ disparaît, et $a$ est au carré.
$V(X - Y) = V(X) + V(Y)$ pour des variables indépendantes (et non une différence).
Les écarts types ne s’additionnent pas : ce sont les variances.