Profs
Exercices corrigésNiveau : TLE SPÉ

Sommes de variables aléatoires : exercices corrigés

2 types d’exercices, trois exemples corrigés pour chacun. Tout se fait sans calculatrice. Pour une série sans fin, avec ta maîtrise de la notion, passe par l’exerciseur.

  • 6 exercices
  • corrigés pas à pas
  • sans calculatrice
  • terminale

Espérance et variance d’une somme

S’entraîner sur ce type

E(aX+b)=aE(X)+bE(aX + b) = aE(X) + b et V(aX+b)=a2V(X)V(aX + b) = a^2V(X). Pour des variables indépendantes, les variances s’additionnent.

1.

X₁, …, X₄ sont indépendantes, de même loi d’écart type 4. Calcule l’écart type de leur somme S.

σ(Xi)=4S=X1+⋯+X4\sigma(X_i) = 4 \qquad S = X_1 + \cdots + X_{4}
Corrigé
  1. V(S)=4×42=64V(S) = 4 \times 4^2 = 64
  2. σ(S)=64=8\sigma(S) = \sqrt{64} = 8

Réponseσ(S) = 88

2.

Calcule E(Y).

E(X)=−2Y=X−6E(X) = -2 \qquad Y = X - 6
Corrigé
  1. E(aX+b)=aE(X)+b=1×(−2)−6=−8E(aX + b) = aE(X) + b = 1 \times (-2) - 6 = -8

RéponseE(Y) = −8-8

3.

X₁, …, X₄ sont indépendantes, de même loi d’écart type 3. Calcule l’écart type de leur somme S.

σ(Xi)=3S=X1+⋯+X4\sigma(X_i) = 3 \qquad S = X_1 + \cdots + X_{4}
Corrigé
  1. V(S)=4×32=36V(S) = 4 \times 3^2 = 36
  2. σ(S)=36=6\sigma(S) = \sqrt{36} = 6

Réponseσ(S) = 66

Espérance, variance et écart type d’une moyenne

S’entraîner sur ce type

Pour la moyenne MnM_n d’un échantillon de taille nn : E(Mn)=μE(M_n) = \mu, V(Mn)=VnV(M_n) = \dfrac{V}{n} et σ(Mn)=σn\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.

4.

Mₙ est la moyenne d’un échantillon de taille n = 100 d’une loi d’écart type 6. Calcule son écart type.

Mn=X1+⋯+X100100M_n = \dfrac{X_1 + \cdots + X_{100}}{100}
Corrigé
  1. σ(Mn)=V(Mn)=σn\sigma(M_n) = \sqrt{V(M_n)} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}
  2. σ(Mn)=6100=610=0,6\sigma(M_n) = \dfrac{6}{\sqrt{100}} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6

Réponseσ(Mₙ) = 0,60{,}6

5.

Mₙ est la moyenne d’un échantillon de taille n = 4 d’une loi de variance 4. Calcule sa variance.

Mn=X1+⋯+X44M_n = \dfrac{X_1 + \cdots + X_{4}}{4}
Corrigé
  1. V(Mn)=1n2V(Sn)=1n2×nV=VnV(M_n) = \dfrac{1}{n^2}V(S_n) = \dfrac{1}{n^2} \times nV = \dfrac{V}{n}
  2. V(Mn)=44=1V(M_n) = \dfrac{4}{4} = 1

RéponseV(Mₙ) = 11

6.

Mₙ est la moyenne d’un échantillon de taille n = 4 d’une loi de variance 8. Calcule sa variance.

Mn=X1+⋯+X44M_n = \dfrac{X_1 + \cdots + X_{4}}{4}
Corrigé
  1. V(Mn)=1n2V(Sn)=1n2×nV=VnV(M_n) = \dfrac{1}{n^2}V(S_n) = \dfrac{1}{n^2} \times nV = \dfrac{V}{n}
  2. V(Mn)=84=2V(M_n) = \dfrac{8}{4} = 2

RéponseV(Mₙ) = 22