Racines carrées : règles de calcul et simplification

Définition de √a, règles √(ab) = √a √b et √(a/b), simplifier √(k²m) en k√m, réduire une somme de racines, éviter √(a + b) = √a + √b.

L’essentiel

Par exemple, $\sqrt{49} = 7$. La racine d’un nombre négatif n’existe pas.

Pour tout réel $a$, $\sqrt{a^2} = \lvert a \rvert$ : $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$, et non $-3$.

Pourquoi la première règle ? $\sqrt{a} \times \sqrt{b}$ est positif, et son carré vaut $\left(\sqrt{a}\right)^2 \times \left(\sqrt{b}\right)^2 = ab$. C’est donc le nombre positif dont le carré est $ab$, c’est-à-dire $\sqrt{ab}$.

Simplifier une racine

But : écrire $\sqrt{N}$ sous la forme $k\sqrt{m}$, avec $m$ entier le plus petit possible.

1. Chercher le plus grand carré parfait qui divise $N$ : $4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100\dots$
2. Écrire $N = k^2 \times m$.
3. Conclure : $\sqrt{N} = \sqrt{k^2} \times \sqrt{m} = k\sqrt{m}$.

Par exemple, $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \boxed{6\sqrt{2}}$.

Simplifier une racine carréeS’entraîner

Calculer avec des racines

• Somme : on ne peut ajouter que des racines semblables (même nombre sous la racine), comme on ajoute $2x + 5x = 7x$. On simplifie d’abord chaque racine.
• Produit, quotient : on regroupe sous une seule racine, puis on calcule.
• Carré : $\left(k\sqrt{m}\right)^2 = k^2 \times \left(\sqrt{m}\right)^2 = k^2 \times m$.

Exemples corrigés

Les pièges