FicheNiveau : TLE SPÉ

Primitives : tableau et méthode

Trouver une primitive avec le tableau des primitives usuelles et les formes u′uⁿ, u′e^u, u′/u, et la primitive qui vérifie une condition.

L’essentiel

$F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ si $F' = f$ sur $I$ . Deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante : si $F$ en est une, toutes les autres s’écrivent $F + C$ .

$f(x)$	Une primitive $F(x)$
$a$ (constante)	$ax$
$x^n$ ( $n \neq -1$ )	$\dfrac{x^{n+1}}{n + 1}$
$\dfrac{1}{x}$ (pour $x > 0$ )	$\ln x$
$\dfrac{1}{x^2}$	$-\dfrac{1}{x}$
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x}$
$\mathrm{e}^{ax}$	$\dfrac{1}{a}\mathrm{e}^{ax}$
$\cos x$	$\sin x$
$\sin x$	$-\cos x$

Formes composées : $u'u^n$ a pour primitive $\dfrac{u^{n+1}}{n + 1}$ , $u'\mathrm{e}^{u}$ a pour primitive $\mathrm{e}^{u}$ , et $\dfrac{u'}{u}$ (avec $u > 0$ ) a pour primitive $\ln u$ .

La méthode

Découpe $f$ en somme de termes simples.
Pour chaque terme, cherche la ligne du tableau ou la forme composée, en ajustant les constantes.
Vérifie en dérivant : $F'$ doit redonner $f$ .
Si on impose $F(a) = b$ , calcule $C$ à la fin.

Exemple corrigé

$f(x) = 6x^2 - 4x + 3$ . Primitive $F$ telle que $F(1) = 0$ :

F(x) = 2x^3 - 2x^2 + 3x + C \qquad F(1) = 2 - 2 + 3 + C = 0 \iff C = -3

Donc $\boxed{F(x) = 2x^3 - 2x^2 + 3x - 3}$ .

$g(x) = 2x\,\mathrm{e}^{x^2}$ est de la forme $u'\mathrm{e}^{u}$ avec $u = x^2$ : $\boxed{G(x) = \mathrm{e}^{x^2}}$ .

Calculer une primitiveS’entraîner

Les pièges

Ne pas confondre primitive et dérivée : une primitive de $x^2$ est $\dfrac{x^3}{3}$ , pas $2x$ .
Une primitive de $\sin x$ est $-\cos x$ (signe moins).
Il ne faut pas oublier la constante quand on demande toutes les primitives.