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Exercices corrigésNiveau : TLE SPÉ

Primitives : exercices corrigés

2 types d’exercices, trois exemples corrigés pour chacun. Tout se fait sans calculatrice. Pour une série sans fin, avec ta maîtrise de la notion, passe par l’exerciseur.

  • 6 exercices
  • corrigés pas à pas
  • sans calculatrice
  • terminale

Calculer une primitive

S’entraîner sur ce type

Une primitive de xnx^n est xn+1n+1\dfrac{x^{n+1}}{n+1}, de eax\mathrm{e}^{ax} est 1aeax\dfrac{1}{a}\mathrm{e}^{ax}. La condition F(0)=kF(0) = k fixe la constante.

1.

Quelle fonction est une primitive de f ?

f(x)=e2xf(x) = \mathrm{e}^{2x}

A. 12e2x\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}B. 2xe2x2x\mathrm{e}^{2x}C. 2e2x2\mathrm{e}^{2x}D. e2x\mathrm{e}^{2x}

Corrigé
  1. FestuneprimitivedefquandF′=f:ondeˊrivechaqueproposition.F est une primitive de f quand F′ = f : on dérive chaque proposition.
  2. F(x)=12e2xconvient.F(x) = \dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x} \quad\text{convient.}

Réponse 12e2x\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{2x}

2.

F est la primitive de f telle que F(0) = 3. Calcule F(1).

f(x)=6x2−4xf(x) = 6x^2 - 4x
Corrigé
  1. F(x)=2x3−2x2+CetF(0)=C=3F(x) = 2x^3 - 2x^2 + C \quad\text{et}\quad F(0) = C = 3
  2. F(1)=2×13−2×12+3=3F(1) = 2 \times 1^3 - 2 \times 1^2 + 3 = 3

RéponseF(1) = 33

3.

F est la primitive de f telle que F(0) = 3. Calcule F(−1).

f(x)=−3x2+4x−5f(x) = -3x^2 + 4x - 5
Corrigé
  1. F(x)=−x3+2x2−5x+CetF(0)=C=3F(x) = -x^3 + 2x^2 - 5x + C \quad\text{et}\quad F(0) = C = 3
  2. F(−1)=−(−1)3+2×(−1)2−5×(−1)+3=11F(-1) = -(-1)^3 + 2 \times (-1)^2 - 5 \times (-1) + 3 = 11

RéponseF(-1) = 1111

Primitive vérifiant une condition

S’entraîner sur ce type

On écrit la primitive à une constante près (ln⁡x\ln x pour 1x\dfrac{1}{x}, sin⁡x\sin x pour cos⁡x\cos x, −cos⁡x-\cos x pour sin⁡x\sin x), puis la condition donne la constante.

4.

F est la primitive de f sur ]0 ; +∞[ telle que F(1) = −5. Calcule F(e).

f(x)=−4xf(x) = -\dfrac{4}{x}
Corrigé
  1. Une primitive de 1x\dfrac{1}{x} sur ]0 ; +∞[]0 \,;\, +\infty[ est ln⁡x\ln x : F(x)=−4ln⁡x+CF(x) = -4\ln x + C.
  2. F(1)=−4×ln⁡1+C=C=−5F(1) = -4 \times \ln 1 + C = C = -5
  3. F(e)=−4ln⁡(e)−5=−4×1−5=−9F(\mathrm{e}) = -4\ln(\mathrm{e}) - 5 = -4 \times 1 - 5 = -9

RéponseF(e) = −9-9

5.

F est la primitive de f sur ]0 ; +∞[ telle que F(1) = 2. Calcule F(e²).

f(x)=4xf(x) = \dfrac{4}{x}
Corrigé
  1. Une primitive de 1x\dfrac{1}{x} sur ]0 ; +∞[]0 \,;\, +\infty[ est ln⁡x\ln x : F(x)=4ln⁡x+CF(x) = 4\ln x + C.
  2. F(1)=4×ln⁡1+C=C=2F(1) = 4 \times \ln 1 + C = C = 2
  3. F(e2)=4ln⁡(e2)+2=4×2+2=10F(\mathrm{e}^{2}) = 4\ln(\mathrm{e}^{2}) + 2 = 4 \times 2 + 2 = 10

RéponseF(e²) = 1010

6.

F est la primitive de f sur ℝ telle que F(0) = 5. Calcule F(π/2).

f(x)=−3cos⁡xf(x) = -3\cos x
Corrigé
  1. F(x)=−3sin⁡x+CetF(0)=C=5F(x) = -3\sin x + C \quad\text{et}\quad F(0) = C = 5
  2. F(π2)=−3×1+5=2F\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = -3 \times 1 + 5 = 2

RéponseF(π/2) = 22