FicheNiveau : TLE SPÉ

Plans et droites de l’espace : équations et intersections

Équation cartésienne d’un plan avec un vecteur normal, représentation paramétrique d’une droite et intersection d’une droite et d’un plan.

L’essentiel

Plan : le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}\,(a \,;\, b \,;\, c)$ a une équation de la forme $ax + by + cz + d = 0$ . Inversement, un plan d’équation $ax + by + cz + d = 0$ admet $\vec{n}\,(a \,;\, b \,;\, c)$ pour vecteur normal.

Droite : la droite passant par $A(x_A \,;\, y_A \,;\, z_A)$ et dirigée par $\vec{u}\,(\alpha \,;\, \beta \,;\, \gamma)$ a pour représentation paramétrique :

\left\{\begin{array}{l} x = x_A + \alpha t \\ y = y_A + \beta t \\ z = z_A + \gamma t \end{array}\right. \qquad (t \in \mathbb{R})

La méthode

Équation d’un plan : écris $ax + by + cz + d = 0$ avec les coordonnées de $\vec{n}$ , puis trouve $d$ en remplaçant par les coordonnées de $A$ .

Intersection d’une droite et d’un plan :

Remplace $x$ , $y$ et $z$ dans l’équation du plan par leurs expressions en $t$ .
Résous l’équation du premier degré obtenue.
Reporte $t$ dans la représentation paramétrique.

Si l’équation n’a pas de solution, la droite est parallèle au plan ; si tout $t$ convient, elle est contenue dans le plan.

Exemple corrigé

Droite $d : x = 1 + 2t$ , $y = -t$ , $z = 3 + t$ et plan $P : x + y + z - 8 = 0$ .

(1 + 2t) + (-t) + (3 + t) - 8 = 2t - 4 = 0 \iff t = 2

Point d’intersection : $\boxed{I(5 \,;\, -2 \,;\, 5)}$ . Contrôle : $5 - 2 + 5 - 8 = 0$ .

Représentation paramétrique d’une droiteS’entraîner

Équation cartésienne d’un planS’entraîner

Les pièges

Le vecteur $(a \,;\, b \,;\, c)$ est normal au plan, pas directeur.
Une droite de l’espace n’a pas d’équation cartésienne simple : on utilise une représentation paramétrique.
Une même droite a une infinité de représentations paramétriques.