2 types d’exercices, trois exemples corrigés pour chacun. Tout se fait sans calculatrice. Pour une série sans fin, avec ta maîtrise de la notion, passe par l’exerciseur.
Avec n ⃗ ( a ; b ; c ) \vec{n}\,(a\,;\,b\,;\,c) n ( a ; b ; c ) a x + b y + c z + d = 0 ax + by + cz + d = 0 a x + b y + cz + d = 0 d d d
1. Le point M(0 ; 4 ; z) appartient au plan P. Calcule z.
P : − 4 x − 2 y + 4 z − 4 = 0 P : -4x - 2y + 4z - 4 = 0 P : − 4 x − 2 y + 4 z − 4 = 0 Corrigé 0 − 8 + 4 z − 4 = 0 0 - 8 + 4z - 4 = 0 0 − 8 + 4 z − 4 = 0 4 z = 12 donc z = 3 4z = 12 \quad\text{donc}\quad z = 3 4 z = 12 donc z = 3 Réponse z = 3 3 3
2. Le plan P passe par A et admet n pour vecteur normal. Son équation est ax + by + cz + d = 0 : donne d.
A ( 2 ; − 2 ; − 3 ) n ⃗ ( − 1 ; − 3 ; 4 ) A(2 \,;\, -2 \,;\, -3) \qquad \vec{n}\,(-1 \,;\, -3 \,;\, 4) A ( 2 ; − 2 ; − 3 ) n ( − 1 ; − 3 ; 4 ) Corrigé n ⃗ \vec{n} n P P P − x − 3 y + 4 z + d = 0 -x - 3y + 4z + d = 0 − x − 3 y + 4 z + d = 0 A ∈ P : − 1 × 2 + ( − 3 ) × ( − 2 ) + 4 × ( − 3 ) + d = 0 donc d = 8 A \in P : -1 \times 2 + (-3) \times (-2) + 4 \times (-3) + d = 0 \quad\text{donc}\quad d = 8 A ∈ P : − 1 × 2 + ( − 3 ) × ( − 2 ) + 4 × ( − 3 ) + d = 0 donc d = 8 P : − x − 3 y + 4 z + 8 = 0 P : -x - 3y + 4z + 8 = 0 P : − x − 3 y + 4 z + 8 = 0 Réponse d = 8 8 8
3. Le plan P passe par A et admet n pour vecteur normal. Son équation est ax + by + cz + d = 0 : donne d.
A ( 2 ; 4 ; − 4 ) n ⃗ ( 4 ; − 3 ; 4 ) A(2 \,;\, 4 \,;\, -4) \qquad \vec{n}\,(4 \,;\, -3 \,;\, 4) A ( 2 ; 4 ; − 4 ) n ( 4 ; − 3 ; 4 ) Corrigé n ⃗ \vec{n} n P P P 4 x − 3 y + 4 z + d = 0 4x - 3y + 4z + d = 0 4 x − 3 y + 4 z + d = 0 A ∈ P : 4 × 2 + ( − 3 ) × 4 + 4 × ( − 4 ) + d = 0 donc d = 20 A \in P : 4 \times 2 + (-3) \times 4 + 4 \times (-4) + d = 0 \quad\text{donc}\quad d = 20 A ∈ P : 4 × 2 + ( − 3 ) × 4 + 4 × ( − 4 ) + d = 0 donc d = 20 P : 4 x − 3 y + 4 z + 20 = 0 P : 4x - 3y + 4z + 20 = 0 P : 4 x − 3 y + 4 z + 20 = 0 Réponse d = 20 20 20
On remplace t t t x x x y y y z z z t t t
4. La droite d a la représentation paramétrique ci-dessous. Donne la coordonnée x de son point de paramètre t = 3.
{ x = 3 + 2 t y = 2 − 2 t z = − 4 + 2 t ( t ∈ R ) \left\{\begin{array}{l} x = 3 + 2t \\ y = 2 - 2t \\ z = -4 + 2t \end{array}\right. \quad (t \in \mathbb{R}) ⎩ ⎨ ⎧ x = 3 + 2 t y = 2 − 2 t z = − 4 + 2 t ( t ∈ R ) Corrigé x = 3 + 2 × 3 = 9 x = 3 + 2 \times 3 = 9 x = 3 + 2 × 3 = 9 Réponse x = 9 9 9
5. La droite d a la représentation paramétrique ci-dessous. Donne la coordonnée y de son point de paramètre t = 3.
{ x = 3 t y = − 2 + 3 t z = − 1 − t ( t ∈ R ) \left\{\begin{array}{l} x = 3t \\ y = -2 + 3t \\ z = -1 - t \end{array}\right. \quad (t \in \mathbb{R}) ⎩ ⎨ ⎧ x = 3 t y = − 2 + 3 t z = − 1 − t ( t ∈ R ) Corrigé y = − 2 + 3 × 3 = 7 y = -2 + 3 \times 3 = 7 y = − 2 + 3 × 3 = 7 Réponse y = 7 7 7
6. La droite d coupe le plan P en un point I. Donne la valeur du paramètre t de I.
{ x = 4 − 2 t y = − 1 z = 3 + 3 t ( t ∈ R ) P : − y + z − 10 = 0 \left\{\begin{array}{l} x = 4 - 2t \\ y = -1 \\ z = 3 + 3t \end{array}\right. \quad (t \in \mathbb{R}) \qquad P : -y + z - 10 = 0 ⎩ ⎨ ⎧ x = 4 − 2 t y = − 1 z = 3 + 3 t ( t ∈ R ) P : − y + z − 10 = 0 Corrigé On remplace x, y et z par leurs expressions en t dans l’équation de P. 3 t − 6 = 0 donc t = 2 3t - 6 = 0 \quad\text{donc}\quad t = 2 3 t − 6 = 0 donc t = 2 I ( 0 ; − 1 ; 9 ) I(0 \,;\, -1 \,;\, 9) I ( 0 ; − 1 ; 9 ) Réponse t = 2 2 2