FicheNiveau : 2NDE

Multiples, diviseurs et fractions irréductibles

Reconnaître un multiple ou un diviseur, trouver le plus grand multiple de a inférieur à b, démontrer avec k entier, rendre une fraction irréductible.

L’essentiel

$\mathbb{N}$ est l’ensemble des entiers naturels : $0, 1, 2, 3, \dots$
$\mathbb{Z}$ est l’ensemble des entiers relatifs : $\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots$

Soit $a$ et $b$ deux entiers. $a$ est un multiple de $b$ s’il existe un entier $k$ tel que

a = k \times b

On dit alors aussi que $b$ est un diviseur de $a$ , ou que $a$ est divisible par $b$ . Par exemple, $91 = 7 \times 13$ : $91$ est un multiple de $7$ , et $7$ est un diviseur de $91$ .

Un entier est pair s’il est multiple de $2$ : il s’écrit $2k$ , avec $k$ entier.
Un entier est impair s’il ne l’est pas : il s’écrit $2k + 1$ , avec $k$ entier.

Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n’ont pas d’autre diviseur commun que $1$ .

Démontrer avec un entier k

On traduit chaque hypothèse avec la définition, puis on factorise.

La somme de deux multiples de $a$ est un multiple de $a$ . Si $m = ka$ et $p = k'a$ , avec $k$ et $k'$ entiers, alors $m + p = ka + k'a = (k + k')a$ , et $k + k'$ est un entier.

Le carré d’un nombre impair est impair. Si $n = 2k + 1$ , alors

n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1

et $K = 2k^2 + 2k$ est un entier : $n^2$ s’écrit $2K + 1$ , il est impair.

Le plus grand multiple de a inférieur ou égal à b

On cherche combien de fois $a$ « tient » dans $b$ : c’est la division euclidienne de $b$ par $a$ , $b = a \times q + r$ avec $0 \leq r < a$ . Le multiple cherché est $a \times q$ .

De tête, on part d’un multiple facile ( $10a$ , $20a$ …) et on ajuste.

Rendre une fraction irréductible

On divise le numérateur et le dénominateur par un même diviseur commun, et on recommence tant que c’est possible. Les critères de divisibilité aident : par $2$ (chiffre des unités pair), par $3$ (somme des chiffres multiple de $3$ ), par $5$ (unités $0$ ou $5$ ). Diviser par le plus grand diviseur commun donne le résultat en une seule étape.

Exemples corrigés

Plus grand multiple de $13$ inférieur ou égal à $200$ . $13 \times 10 = 130$ , $13 \times 15 = 195$ , $13 \times 16 = 208$ . Donc $200 = 13 \times 15 + 5$ , et le multiple cherché est $\boxed{195}$ : le suivant, $208$ , dépasse $200$ .

Multiples et diviseursS’entraîner

Forme irréductible de $\dfrac{60}{84}$ . On repère $60 = 5 \times 12$ et $84 = 7 \times 12$ :

\dfrac{60}{84} = \dfrac{5 \times 12}{7 \times 12} = \boxed{\dfrac{5}{7}}

$5$ et $7$ n’ont pas d’autre diviseur commun que $1$ : c’est fini. Sans voir le $12$ , on simplifie par étapes : $\dfrac{60}{84} = \dfrac{30}{42} = \dfrac{15}{21} = \dfrac{5}{7}$ (par $2$ , par $2$ , puis par $3$ ).

Rendre une fraction irréductibleS’entraîner

Les pièges

Ne pas inverser les mots : $7$ divise $91$ , et $91$ est un multiple de $7$ (pas l’inverse).
$0$ est un multiple de tout entier ( $0 = 0 \times b$ ), et un multiple peut être négatif : $-12 = (-3) \times 4$ est un multiple de $4$ .
Une fraction simplifiée n’est pas forcément irréductible : $\dfrac{30}{42}$ se simplifie encore. Vérifie toujours qu’il ne reste aucun diviseur commun.
On simplifie des facteurs, jamais des termes : $\dfrac{6 + 5}{6 + 7} = \dfrac{11}{13}$ , pas $\dfrac{5}{7}$ .
Pour une démonstration, un exemple ne suffit pas : $3^2 = 9$ est impair, mais il faut le prouver pour tout impair $2k + 1$ .