FicheNiveau : TLE SPÉ

Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Reconnaître une loi binomiale, calculer P(X = k) avec les coefficients binomiaux, l’espérance np et la variance np(1 − p).

L’essentiel

Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès (probabilité $p$ ) ou échec ( $1 - p$ ). Répéter $n$ fois la même épreuve, de façon indépendante, c’est un schéma de Bernoulli.

Le nombre $X$ de succès suit alors la loi binomiale $\mathcal{B}(n \,;\, p)$ :

P(X = k) = \dbinom{n}{k}\,p^k\,(1 - p)^{n - k} \qquad (0 \leq k \leq n)

E(X) = np \qquad V(X) = np(1 - p) \qquad \sigma(X) = \sqrt{np(1 - p)}

La méthode

Justifie le modèle : une épreuve à deux issues, répétée $n$ fois de façon identique et indépendante. Précise $n$ et $p$ .
Pour $P(X = k)$ , applique la formule.
Pour « au moins un », passe par le contraire : $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - p)^n$ .
Pour $P(X \leq k)$ ou un seuil, utilise la calculatrice (fonctions de la loi binomiale).

Exemple corrigé

On lance $5$ fois une pièce équilibrée. $X$ compte les « pile » : $X \sim \mathcal{B}(5 \,;\, 0{,}5)$ .

P(X = 2) = \dbinom{5}{2} \times 0{,}5^2 \times 0{,}5^3 = \dfrac{10}{32} = \boxed{0{,}3125}

E(X) = 5 \times 0{,}5 = \boxed{2{,}5} \qquad V(X) = 5 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = \boxed{1{,}25}

Probabilité d’obtenir au moins un « pile » : $1 - 0{,}5^5 = 1 - \dfrac{1}{32} = \boxed{\dfrac{31}{32}}$ .

Loi binomiale : probabilités, espérance, varianceS’entraîner

Les pièges

Sans indépendance (tirages sans remise, par exemple), ce n’est pas une loi binomiale.
N’oublie pas le coefficient $\dbinom{n}{k}$ : il compte les chemins de l’arbre avec $k$ succès.
$P(X < 3) = P(X \leq 2)$ : attention aux inégalités strictes avec une variable entière.