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Exercices corrigésNiveau : TLE SPÉ

Loi binomiale : exercices corrigés

2 types d’exercices, trois exemples corrigés pour chacun. Tout se fait sans calculatrice. Pour une série sans fin, avec ta maîtrise de la notion, passe par l’exerciseur.

  • 6 exercices
  • corrigés pas à pas
  • sans calculatrice
  • terminale

Loi binomiale : probabilités, espérance, variance

S’entraîner sur ce type

Pour X∼B(n ; p)X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p) : P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \dbinom{n}{k}p^k(1 - p)^{n-k}, E(X)=npE(X) = np et V(X)=np(1−p)V(X) = np(1 - p).

1.

On lance 3 fois une pièce équilibrée. X compte le nombre de « pile ». Calcule P(X = 0).

X∼B(3 ; 0,5)X \sim \mathcal{B}(3 \,;\, 0{,}5)
Corrigé
  1. P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \dbinom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k}
  2. P(X=0)=(30)×0,53=18=0,125P(X = 0) = \dbinom{3}{0} \times 0{,}5^{3} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125

RéponseP(X = 0) = 0,1250{,}125

2.

X suit la loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0,7. Calcule son espérance.

X∼B(100 ; 0,7)X \sim \mathcal{B}(100 \,;\, 0{,}7)
Corrigé
  1. E(X)=np=100×0,7=70E(X) = np = 100 \times 0{,}7 = 70

RéponseE(X) = 7070

3.

X suit la loi binomiale de paramètres n = 25 et p = 0,7. Calcule sa variance.

X∼B(25 ; 0,7)X \sim \mathcal{B}(25 \,;\, 0{,}7)
Corrigé
  1. V(X)=np(1−p)=25×0,7×0,3=5,25V(X) = np(1 - p) = 25 \times 0{,}7 \times 0{,}3 = 5{,}25

RéponseV(X) = 5,255{,}25

Coefficients binomiaux, P(X ≤ 1), seuil

S’entraîner sur ce type

Le nombre de chemins réalisant X=kX = k est (nk)\dbinom{n}{k}. P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1). Pour « au moins un succès », on passe par l’événement contraire : P(X≥1)=1−(1−p)nP(X \geq 1) = 1 - (1 - p)^n.

4.

On lance n fois une pièce équilibrée. Quel est le plus petit n tel que la probabilité d’obtenir au moins un « pile » soit au moins 0,9 ?

1−(12)n≥0,91 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \geq 0{,}9
Corrigé
  1. P(X≥1)=1−P(X=0)=1−(12)n≥0,9  ⟺  2n≥10P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \geq 0{,}9 \iff 2^n \geq 10
  2. 23=8<10et24=16≥102^{3} = 8 < 10 \quad\text{et}\quad 2^{4} = 16 \geq 10

Réponsen = 44

5.

On lance n fois une pièce équilibrée. Quel est le plus petit n tel que la probabilité d’obtenir au moins un « pile » soit au moins 0,99 ?

1−(12)n≥0,991 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \geq 0{,}99
Corrigé
  1. P(X≥1)=1−P(X=0)=1−(12)n≥0,99  ⟺  2n≥100P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \geq 0{,}99 \iff 2^n \geq 100
  2. 26=64<100et27=128≥1002^{6} = 64 < 100 \quad\text{et}\quad 2^{7} = 128 \geq 100

Réponsen = 77

6.

X suit la loi binomiale ℬ(3 ; 0,2). Calcule P(X ≤ 1).

X∼B(3 ; 0,2)X \sim \mathcal{B}(3 \,;\, 0{,}2)
Corrigé
  1. P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=(0,8)3+3×0,2×(0,8)2P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = (0{,}8)^{3} + 3 \times 0{,}2 \times (0{,}8)^{2}
  2. P(X≤1)=0,512+0,384=0,896P(X \leq 1) = 0{,}512 + 0{,}384 = 0{,}896

RéponseP(X ≤ 1) = 0,8960{,}896