FicheNiveau : TLE SPÉ

Fonction logarithme népérien : propriétés, équations, dérivée

Les règles de calcul du logarithme népérien, son lien avec l’exponentielle, sa dérivée, ses limites et la résolution d’équations.

L’essentiel

La fonction $\ln$ est définie sur $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ : c’est la réciproque de l’exponentielle.

y = \ln x \iff x = \mathrm{e}^{y} \qquad \ln(\mathrm{e}^{a}) = a \qquad \mathrm{e}^{\ln b} = b \;(b > 0) \qquad \ln 1 = 0 \qquad \ln \mathrm{e} = 1

Règles de calcul, pour $a, b > 0$ et $n$ entier :

\ln(ab) = \ln a + \ln b \qquad \ln\dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b \qquad \ln\dfrac{1}{a} = -\ln a \qquad \ln(a^n) = n\ln a \qquad \ln\sqrt{a} = \dfrac{1}{2}\ln a

Dérivée : $\ln'(x) = \dfrac{1}{x}$ . La fonction est strictement croissante sur $\mathopen{]}0 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ , donc $\ln a = \ln b \iff a = b$ et $\ln a < \ln b \iff a < b$ .

Signe : $\ln x < 0$ pour $0 < x < 1$ , et $\ln x > 0$ pour $x > 1$ .

La méthode

Pour résoudre une équation ou une inéquation :

Écris les conditions d’existence (ce qu’il y a dans le $\ln$ doit être strictement positif).
Ramène-toi à $\ln A = \ln B$ (ou $\mathrm{e}^{A} = \mathrm{e}^{B}$ ), puis à $A = B$ .
Garde seulement les solutions qui vérifient les conditions.

Pour $\mathrm{e}^{x} = k$ avec $k > 0$ : $x = \ln k$ . Pour $q^n \geq A$ : $n \ln q \geq \ln A$ , et on divise par $\ln q$ en faisant attention à son signe.

Exemple corrigé

$\ln(x - 1) = \ln(2x - 5)$ . Conditions : $x > 1$ et $x > \dfrac{5}{2}$ , donc $x > \dfrac{5}{2}$ .

x - 1 = 2x - 5 \iff x = 4

$4 > \dfrac{5}{2}$ : la solution est $\boxed{x = 4}$ .

Équations avec ln et exponentielleS’entraîner

Seuil : le plus petit $n$ tel que $0{,}8^n \leq 0{,}1$ . On a $n\ln 0{,}8 \leq \ln 0{,}1$ , et $\ln 0{,}8 < 0$ : l’inégalité change de sens, $n \geq \dfrac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}8} \approx 10{,}3$ , donc $\boxed{n = 11}$ .

Propriétés du logarithme népérienS’entraîner

Les pièges

$\ln(a + b) \neq \ln a + \ln b$ .
$\ln$ d’un nombre négatif ou nul n’existe pas : vérifie toujours les conditions.
En divisant par un logarithme négatif ( $\ln q$ avec $q < 1$ ), on change le sens de l’inégalité.