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Exercices corrigésNiveau : TLE SPÉ

Fonction logarithme : exercices corrigés

2 types d’exercices, trois exemples corrigés pour chacun. Tout se fait sans calculatrice. Pour une série sans fin, avec ta maîtrise de la notion, passe par l’exerciseur.

  • 6 exercices
  • corrigés pas à pas
  • sans calculatrice
  • terminale

Propriétés du logarithme népérien

S’entraîner sur ce type

ln⁡a+ln⁡b=ln⁡(ab)\ln a + \ln b = \ln(ab), ln⁡a−ln⁡b=ln⁡ab\ln a - \ln b = \ln\dfrac{a}{b} et nln⁡a=ln⁡(an)n\ln a = \ln(a^n).

1.

Calcule.

ln⁡(e2)+eln⁡7\ln\left(\mathrm{e}^{2}\right) + \mathrm{e}^{\ln 7}
Corrigé
  1. ln⁡(ea)=aeteln⁡b=b\ln(\mathrm{e}^{a}) = a \quad\text{et}\quad \mathrm{e}^{\ln b} = b
  2. 2+7=92 + 7 = 9

Réponse= 99

2.

Écris le nombre sous la forme ln(k). Donne k.

ln⁡2+ln⁡3−ln⁡2\ln 2 + \ln 3 - \ln 2
Corrigé
  1. ln⁡a+ln⁡b−ln⁡c=ln⁡abc\ln a + \ln b - \ln c = \ln\dfrac{ab}{c}
  2. ln⁡2+ln⁡3−ln⁡2=ln⁡3\ln 2 + \ln 3 - \ln 2 = \ln 3

Réponsek = 33

3.

Calcule.

ln⁡1+ln⁡(e3)\ln 1 + \ln\left(\mathrm{e}^{3}\right)
Corrigé
  1. ln⁡1=0etln⁡(ea)=a\ln 1 = 0 \quad\text{et}\quad \ln(\mathrm{e}^{a}) = a
  2. 0+3=30 + 3 = 3

Réponse= 33

Équations avec ln et exponentielle

S’entraîner sur ce type

ln⁡X=0  ⟺  X=1\ln X = 0 \iff X = 1, eX=1  ⟺  X=0\mathrm{e}^X = 1 \iff X = 0, et ln⁡a=ln⁡b  ⟺  a=b\ln a = \ln b \iff a = b (pour a,b>0a, b > 0).

4.

Résous l’équation.

ex=1\mathrm{e}^{x} = 1
Corrigé
  1. eu=1  ⟺  u=0\mathrm{e}^{u} = 1 \iff u = 0
  2. x=0  ⟺  x=0x = 0 \iff x = 0

Réponsex = 00

5.

Résous l’équation (les deux logarithmes sont définis en la solution).

ln⁡(x+8)=ln⁡(2x+7)\ln(x + 8) = \ln(2x + 7)
Corrigé
  1. ln⁡u=ln⁡v  ⟺  u=v  (u,v>0)\ln u = \ln v \iff u = v \;(u, v > 0)
  2. x+8=2x+7  ⟺  x=1x + 8 = 2x + 7 \iff x = 1
  3. Vérification : x+8=9>0x + 8 = 9 > 0.

Réponsex = 11

6.

Résous l’équation sur ]0 ; +∞[.

ln⁡x=ln⁡8+ln⁡6\ln x = \ln 8 + \ln 6
Corrigé
  1. ln⁡8+ln⁡6=ln⁡48\ln 8 + \ln 6 = \ln 48
  2. ln⁡x=ln⁡48  ⟺  x=48\ln x = \ln 48 \iff x = 48

Réponsex = 4848