FicheNiveau : TLE SPÉ

Limites de suites : suites géométriques, fractions, comparaison

Trouver la limite d’une suite : suites géométriques qⁿ, terme de plus haut degré, comparaison et théorème des gendarmes.

L’essentiel

Suites géométriques $q^n$ :

si $q > 1$ , $q^n$ tend vers $+\infty$ ;
si $-1 < q < 1$ , $q^n$ tend vers $0$ ;
si $q = 1$ , la suite est constante, égale à $1$ ;
si $q \leq -1$ , la suite n’a pas de limite.

Polynômes et fractions en $n$ : une somme a la limite de son terme de plus haut degré ; pour une fraction, on factorise le numérateur et le dénominateur par leur terme dominant.

Comparaison : si $u_n \geq v_n$ et $v_n$ tend vers $+\infty$ , alors $u_n$ tend vers $+\infty$ .

Théorème des gendarmes : si $v_n \leq u_n \leq w_n$ et si $v_n$ et $w_n$ tendent vers la même limite $\ell$ , alors $u_n$ tend vers $\ell$ .

Suites monotones : une suite croissante et majorée converge.

La méthode

Repère la forme : $q^n$ , polynôme, fraction, ou expression bornée ( $\cos n$ , $(-1)^n$ ).
Factorise par le terme dominant et utilise les limites usuelles.
Si un terme oscille mais reste borné, encadre et applique les gendarmes.

Exemple corrigé

$u_n = \dfrac{3n^2 - n + 2}{2n^2 + 5}$ . On factorise par $n^2$ :

u_n = \dfrac{3 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}}{2 + \frac{5}{n^2}} \longrightarrow \boxed{\dfrac{3}{2}}

$v_n = 2 + \dfrac{(-1)^n}{n}$ : $2 - \dfrac{1}{n} \leq v_n \leq 2 + \dfrac{1}{n}$ , donc $v_n$ tend vers $\boxed{2}$ .

Limite d’une suiteS’entraîner

Les pièges

« $+\infty - \infty$ » et « $\dfrac{\infty}{\infty}$ » sont des formes indéterminées : il faut factoriser.
$(-2)^n$ n’a pas de limite : elle change de signe à chaque rang.
Une suite croissante ne tend pas forcément vers $+\infty$ : elle peut converger.