FicheNiveau : TLE SPÉ

Limites de fonctions : croissances comparées et asymptotes

Limites en l’infini et en un point, croissances comparées entre exponentielle, puissances et logarithme, et asymptotes.

L’essentiel

Limites usuelles :

\lim_{x \to +\infty} \mathrm{e}^{x} = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} \mathrm{e}^{x} = 0 \qquad \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty \qquad \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty

Croissances comparées (pour tout entier $n \geq 1$ ) : l’exponentielle l’emporte sur les puissances, qui l’emportent sur le logarithme.

\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^n} = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} x^n\mathrm{e}^{x} = 0 \qquad \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0 \qquad \lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0

Asymptotes :

si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell$ , la droite $y = \ell$ est asymptote horizontale ;
si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ , la droite $x = a$ est asymptote verticale.

Essaie de conclure directement avec les opérations sur les limites.
En cas de forme indéterminée, factorise par le terme dominant.
Si l’exponentielle ou le logarithme est en jeu, pense aux croissances comparées.

$f(x) = \mathrm{e}^{x} - x^2$ en $+\infty$ : forme $+\infty - \infty$ . On factorise :

f(x) = \mathrm{e}^{x}\left(1 - \dfrac{x^2}{\mathrm{e}^{x}}\right) \qquad \dfrac{x^2}{\mathrm{e}^{x}} \to 0 \quad\text{donc}\quad \boxed{f(x) \to +\infty}

$g(x) = \dfrac{4x - 1}{2x + 3}$ en $+\infty$ : $g(x) \to \dfrac{4}{2} = \boxed{2}$ , asymptote horizontale $y = 2$ .

En $0$ , distingue $0^+$ et $0^-$ : $\dfrac{1}{x}$ tend vers $+\infty$ à droite, vers $-\infty$ à gauche.
$\ln x$ n’est défini que pour $x > 0$ : pas de limite en $-\infty$ .
Les croissances comparées s’apprennent dans le bon sens : c’est l’exponentielle qui l’emporte.