2 types d’exercices, trois exemples corrigés pour chacun. Tout se fait sans calculatrice. Pour une série sans fin, avec ta maîtrise de la notion, passe par l’exerciseur.
On utilise les limites de référence (e−x→0 en +∞, lnx→−∞ en 0+) et, pour un quotient, on factorise par les termes de plus haut degré.
1.Quelle est la limite ?
x→+∞limlnx−x A. −∞B. 0C. 1D. +∞
Corrigé
- Onfactorise:lnx−x=x(lnx/x−1),etlnx/xtendvers0.
- limx→+∞lnx−x=−∞
Réponse −∞
2.Quelle est la limite ?
x→+∞lime−x A. −∞B. 0C. 1D. +∞
Corrigé
- Quandxtendvers+∞,−xtendvers−∞,donce(−x)tendvers0.
- limx→+∞e−x=0
Réponse 0
3.Quelle est la limite ?
x→+∞limxlnx A. −∞B. 0C. 1D. +∞
Corrigé
- Croissance comparée : x l’emporte sur ln x.
- limx→+∞xlnx=0
Réponse 0
Si f(x)→k en ±∞, la droite y=k est asymptote horizontale. Si ∣f(x)∣→+∞ quand x→a, la droite x=a est asymptote verticale : pour un quotient, a annule le dénominateur et pas le numérateur.
4.La courbe de f admet une asymptote verticale d’équation x = k. Donne k.
f(x)=3x−34x−9 Corrigé
- Le dénominateur s’annule en x=1, et pas le numérateur : 4x−9 vaut −5 en 1.
- limx→1∣f(x)∣=+∞doncx=1
Réponsek = 1
5.La courbe de f admet une asymptote verticale d’équation x = k. Donne k.
f(x)=x−26x−7 Corrigé
- Le dénominateur s’annule en x=2, et pas le numérateur : 6x−7 vaut 5 en 2.
- limx→2∣f(x)∣=+∞doncx=2
Réponsek = 2
6.La courbe de f admet une asymptote horizontale en +∞, d’équation y = k. Donne k.
f(x)=−5−3e−x Corrigé
- limx→+∞e−x=0, donc limx→+∞f(x)=−5.
- y=−5
Réponsek = −5