FicheNiveau : 2NDE

Intervalles et valeur absolue

Passer d’une inégalité à un intervalle, calculer une intersection, une distance |a − b|, et résoudre |x − a| ≤ r sur la droite numérique.

L’essentiel

Les nombres réels ( $\mathbb{R}$ ) sont les abscisses des points de la droite numérique. Un intervalle est l’ensemble des réels compris entre deux bornes.

Inégalité	Intervalle	Sur la droite
$a \leq x \leq b$	$[a \,;\, b]$	de $a$ à $b$ , bornes comprises
$a < x < b$	$\mathopen{]}a \,;\, b\mathclose{[}$	de $a$ à $b$ , bornes exclues
$a \leq x < b$	$[a \,;\, b\mathclose{[}$	$a$ compris, $b$ exclu
$x \geq a$	$[a \,;\, +\infty\mathclose{[}$	à partir de $a$ , compris
$x > a$	$\mathopen{]}a \,;\, +\infty\mathclose{[}$	après $a$ , exclu
$x \leq b$	$\mathopen{]}-\infty \,;\, b]$	jusqu’à $b$ , compris
$x < b$	$\mathopen{]}-\infty \,;\, b\mathclose{[}$	avant $b$ , exclu

Le crochet est tourné vers le nombre s’il est compris ( $\leq$ , $\geq$ ), vers l’extérieur sinon ( $<$ , $>$ ). Du côté de $-\infty$ ou de $+\infty$ , il est toujours ouvert.

La valeur absolue $\lvert a \rvert$ est la distance entre $a$ et $0$ : $\lvert 5 \rvert = 5$ , $\lvert -5 \rvert = 5$ . Elle vaut $a$ si $a \geq 0$ , et $-a$ si $a < 0$ .

La distance entre deux réels $a$ et $b$ vaut $\lvert a - b \rvert$ (ou $\lvert b - a \rvert$ , c’est pareil).

Appartenance, intersection, réunion

$x \in I$ se lit « $x$ appartient à $I$ ». Par exemple, $4 \in [-3 \,;\, 4]$ , mais $4 \notin [-3 \,;\, 4\mathclose{[}$ .
L’intersection $I \cap J$ contient les réels qui sont dans $I$ et dans $J$ . Pour deux intervalles qui se chevauchent : elle commence au plus grand début et s’arrête à la plus petite fin, chaque borne gardant son crochet.
La réunion $I \cup J$ contient les réels qui sont dans $I$ ou dans $J$ (ou dans les deux).

Résoudre |x − a| ≤ r

$\lvert x - a \rvert$ est la distance entre $x$ et $a$ . Avec $r > 0$ :

\lvert x - a \rvert \leq r \iff a - r \leq x \leq a + r \iff x \in [a - r \,;\, a + r]

Les solutions sont les réels dont la distance à $a$ est inférieure ou égale à $r$ : on part de $a$ et on recule, puis on avance, de $r$ .

Pour $\lvert x - a \rvert \geq r$ , c’est le contraire : $x$ est loin de $a$ , donc avant $a - r$ ou après $a + r$ :

S = \mathopen{]}-\infty \,;\, a - r] \cup [a + r \,;\, +\infty\mathclose{[}

Avec $<$ ou $>$ , les bornes $a - r$ et $a + r$ sont exclues : crochets ouverts.

Exemples corrigés

Intersection. $[-3 \,;\, 4\mathclose{[} \,\cap\, \mathopen{]}1 \,;\, 7]$ : le plus grand début est $1$ (exclu), la plus petite fin est $4$ (exclue). Donc $[-3 \,;\, 4\mathclose{[} \,\cap\, \mathopen{]}1 \,;\, 7] = \boxed{\mathopen{]}1 \,;\, 4[}$ . La réunion, elle, vaut $\boxed{[-3 \,;\, 7]}$ .

Intervalles et inégalitésS’entraîner

Distance. $d(-7 \,;\, 2{,}5) = \lvert -7 - 2{,}5 \rvert = \lvert -9{,}5 \rvert = \boxed{9{,}5}$ .

Inéquation. $\lvert x + 2 \rvert < 5$ s’écrit $\lvert x - (-2) \rvert < 5$ : distance à $-2$ strictement inférieure à $5$ . Comme $-2 - 5 = -7$ et $-2 + 5 = 3$ , on obtient $\boxed{S = \mathopen{]}-7 \,;\, 3[}$ .

Inéquation. $\lvert x - 3 \rvert \geq 4$ : distance à $3$ au moins égale à $4$ . Comme $3 - 4 = -1$ et $3 + 4 = 7$ , on obtient $\boxed{S = \mathopen{]}-\infty \,;\, -1] \cup [7 \,;\, +\infty[}$ .

Valeur absolue et distanceS’entraîner

Les pièges

$\lvert x + 2 \rvert$ est la distance à $-2$ , pas à $2$ : on réécrit $x + 2 = x - (-2)$ .
Un crochet en $+\infty$ ou $-\infty$ est toujours ouvert : $[3 \,;\, +\infty\mathclose{[}$ , jamais $[3 \,;\, +\infty]$ .
Ne pas confondre $\cap$ (« et », la partie commune) et $\cup$ (« ou », tout ce qui est dans l’un ou l’autre).
Pour $\lvert x - a \rvert \geq r$ , la réponse est une réunion de deux intervalles, pas $[a - r \,;\, a + r]$ .
$-a$ n’est pas toujours négatif : si $a = -3$ , alors $\lvert a \rvert = -a = 3$ .